|
随便查阅一下科学史就可发现，“悬链线”问题在数学、物理和工程技术上都是明星般的存在。如果要拍部专题片《悬链线的故事》，其内容也是足够丰富的，多位学界大人物都将卷入中，我忍不住也要去凑个热闹。 从15世纪的达芬奇到17世纪的伯努利，悬链线问题历经二百年终于得到解决。莱布尼兹和惠更斯也参与其中，拱桥和铁索桥都是它最常见的应用。 而我要讲的是，悬链线问题中的微分奥秘。 公元1690年，伯努利家36岁的雅各布已是数学名家。他对悬链线问题的研究已经一年多，他认为悬链线就是抛物线，其他学子大都赞同。所以在悬链线问题上，雅各布已负盛名，他成天还在琢磨如何给出严格的数学证明。岂知一个愣头青，小他13岁亲弟弟，自己所带的数学徒弟——约翰.伯努利，跟他说，哥哇，昨晚我熬了个夜就把悬链线的数学解搞出来了，你就不用再去证明啥了，它不是什么抛物线，而是一个双曲余弦函数。 要命的事，小约翰一点也不给哥留面子！他大肆宣扬自己的成就，还要去申请国家奖。从此，雅各布日渐衰微，小约翰则一路高歌。雅各布51岁就郁郁而终，而约翰活到81岁。约翰.伯努利还有一个很了不起的学生——大数学家欧拉，恐怕其科学地位堪比牛顿。 有趣的是，晚年的约翰也遭到了“报应”：他的儿子丹尼尔.伯努利比他更有才华，年纪轻轻就要与他同台领奖。他真的很愤怒，便把这“不孝之子”逐出了家门。人类历史上，恐怕没有一个家族堪比伯努利家,百位学神降生在一个家族内，争奇斗艳！ 说到伯努利家的悬链线，我不禁想起民国张家的老虎。张大千有个大他17岁的二哥张善子，是民国著名的画虎大师，人称虎公。为了画虎，他还多年在家里圈养老虎。同时，张二哥发现小弟大千很有绘画天赋，便用心培养。一天酒后兴起，他让小弟画虎，自己题名。谁知这幅画在市面上比以前的火爆得多！什么虎公，张善子顿觉在小弟大千面前，自己啥也不是了！张大千也立马决定终生不再画老虎，以便给二哥的江湖保留一个仅有的小山头。张善子终年58岁，张大千享年84岁。 我不懂艺术，不知画虎的窍门。但我已懂得悬链线中的数学奥秘。想当年，约翰.伯努利不可能比他哥更有知识，但他却能把微积分的思想应用到悬链线这个物理问题之中。俩哥之间的差异应当是很微妙的，也许只要他讲一句话就可以让哥哥脱困：悬链线（内部）的受力方向与该点（外部）的切线方向是一致的，因为悬链线内部没有横向应力。 只需明白这点，悬链线的数学求解就没有悬念了。因为对于接下来的数理推演，雅各布就不再需要别人的帮助。 今天，我们若要向学生讲解此题目，也要注意两个重点： 第一，要把AM这段曲线看成一个物体，一个受力工件。它的受力需要达到平衡。所以，M点的拉力T、A点的拉力H和AM段重力，三者合力为零。即 Tsinθ = ρgs Tcosθ = H 其中，ρgs 分别代表：线密度、重力加速度和线长度，三者乘积为这段曲线的重力。 第二，透彻理解M点和A点的受力方向就是切线方向。 不要以为这点是显而易见和理所当然！当年的科学家就困在这里，很长时间不得解脱。那么，当时的小约翰怎么就突破困境了呢？ 那是17世纪末，微积分理论尚在草创阶段，大家对微分概念的理解不尽相同，甚至还有人质疑微积分理论是否站得住。我的猜测是，约翰.伯努利突然明白了微分dl的物理意义。 现在我们来看 dx 、dy 、dl和曲线的关系。
（以上是子川的导数图）
（以上是现行课本的导数图） 遗憾的是在伯努利之后，微分与导数的关系还是表述得很含混，直到21世纪。如果当时小约翰理解的微分定义就是现行课本水平的话，那他就会跟他哥一样无法脱困。不信，大家就仔细对比上面两个图。 如果dy的落点不在曲线上，只在切线上，那么它的极小性质怎么体现？dy不再是△y,而是它的一部分，dx与∆x的关系又是另一种说法。那么，切线怎能成为曲线的走向和受力方向？
所以，只有按子川导数图来理解微分与导数的关系，问题才可云开雾散，迎刃而解。数学属形而上学（理念世界），物理属形而下学（现实世界）。微积分又算什么？它刚好进入形而下学。 扯这个蛋有什么意义？不是卖弄，是必需的。数学中的“点”没有大小，或说大小为零；数学中的“线”宽度为0。但在物理现实中，无大小无质量的物体是不存在的。但在微分概念中，点与线，直与曲，就可在dl这个小而不为0的尺度内实现“统一”。dy除以dx不是0除以0，也不是无穷小除以无穷小，而是极小除以极小。 如此思想后，我们来建模： 在悬链线中取一动点 M（x, y)；定点 A为初始边界。 想象M点沿曲线向上延伸一丁点，长度为dl ， dl的坐标投影为dx和dy 。 dl在物理上可属一个点，虽在数学上不是，而在微分概念上，也该算一个点。 所以，这段dl既是一个点，也是一段线；既是曲线，又是直线。作为直线，它就与曲线在这点的切线重合。 如此这般，我们才敢确定用悬链线在M点的切线方向来表达它的受力方向。于是，两个受力分量之比就等于dy/dx ,也等于该点的导数。 至此，一个现实的物理问题才转化为一个纯数学问题：
|
|
|
