【原】角平分线的综合探究，考查全等和相似，基本功底还是非常重要

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：

已知：如图1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上.

 

解答:某数学兴趣小组在小明同学提出了如下的解题方法：

如图2，过点F作FG⊥AD于点G，作FH⊥AE于点H，作FM⊥BC于点M，由角平分线的性质定理可得FG=FM，FH=FM

∴FG=FH

∵FG⊥AD，FH⊥AE，

∴F在∠DAE的平分线上

【探究】(1)小方在研究小明的解题过程中，还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：____________

(2) 小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：____

 

(3) 如图3，边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC上的点，且DE=1，连接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，求BF的长.

【拓展】如图4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B，将△DEF在顶点D在放BC边的中点处，边DF交线段AB于点G，边DE交线段AC于点H，连接GH，现将△DEF绕着点D旋转，在旋转过程中，△AGH的周长是否发生变化？若不变，求出△AGH的周长，若改变，请说明理由.

解：(1)BC=BG+CH(提示：易证△FBG≌△FBM，△FCM≌△FCH得BG=BM，CH=CM)

(2)∠BFC=∠GFH

(3)在CB的延长线上取点G使BG=DE,易知△BAG≌△ADE，AG=AE，∠DAE=∠BAG；而∠BAF+∠DAE=45，得∠BAG+∠BAF=45，即∠GAF=45，故△AFE≌△AFG，FG=FE，即有EF=BF+DE

 

由已知∠B=∠C=∠HDG，∠BDG+∠CDH=∠CDH+∠CHD得∠BDG=∠CHD得△BDG~△CHD得而BD=CD得，∠HDG=∠B，故△BDG~△DHG，得∠BDG=∠GHD，又∠BDG=∠CHD，DH平分∠CHG；同理可得DG平分∠BGH；

作DM、DN、DO分别垂直于AB、GH、AC于点M、N、O，易知DM=DN=NO可得△DGM≌△DGN，△DHN≌△DHO，GN=GM，NH=OH得AG+GH+AH=AM+AO=2AM；而由射影定理可知AD²=AMAB得AM=，故△AGH的周长不变为

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