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初中数学那些事儿--连载系列(2) 计算篇-《有理数》 点击蓝字 关注我 各位朋友，大家久等了……这个连载系列内容是我根据我这10多年的经历原创的内容，旨在让家长和同学们提前了解一下初中数学的具体内容。 因此，我们先暂定每周更新一篇，如果后面精力允许的情况下，我会多更新一些。 那接下来，就开始，我们今天的话题：计算 计算搞不好，数学，物理基本就废了，这个是毋庸置疑的。 当然，我们的大多数的家长也都非常重视孩子的计算问题，尤其是在小学阶段。 我所遇到的最常见的问题： “老师，我家孩子计算不好，怎么办？是不是该多做一些题练一下？” “老师，我家孩子计算不好，你有没有什么好的练习册推荐一下？” 当然，各位家长也可能会听老师说： “你家孩子计算不好，放假回去多做一点题练一下” 于是，各种计算题齐上阵，练了一段时间之后，我们会发现： 有的孩子进步明显，计算速度和计算准确性都有非常大的提升---母慈子孝 有的孩子有点改善，但效果一般--怒目相对 有的孩子好像基本就没有什么效果--鸡飞狗跳 问题在哪？同样都是练？为啥效果差别这么大？ 慢慢的，有的家长就想： “我家的孩子是不是学数学的料呢？” 一旦家长有了这种想法之后，就会在日常和孩子沟通中，潜移默化的把这种想法渗透给孩子 慢慢的，孩子会想： “我妈（爸）说了，我就不是学习数学这块料” 于是，后面作业完成不好，考试考不好，咋回事？ “我就不是学习数学的料” 你看！多么完美的理由！~ 说到这，我估计会有很多家长泪奔，泪奔的同时还会有疑问： ”那为什么别的同学有效果，我家孩子没就没效果呢？我也没少让他/她练，也没少因为这事跟孩子斗争，但就是效果反复，或者没啥效果？这是为啥？“ 这是因为： 有效果的同学练的是规则 没有效果的同学练的是感觉 什么是练规则，什么是练感觉，我会最后一块讲，大家先跟着我看下面的内容 2 接下来，我们开始说一说具体内容--《有理数》 无论哪个版本，《有理数》基本上都是初一上学期前2章必讲的内容。因为它是整个初中阶段的计算中最基础、最核心的内容 初中阶段各模块知识之间的逻辑关系是错综复杂的。为了方便各位家长能够理解，我们先通过下面的简易图，让大家大致的了解一下它们之间简易的逻辑关系（原创）：  如何看这张图？ 首先，我先来解释一下： 强关联和弱关联 强关联：是非它不可，影响非常大 弱关联：有一定关系，可有可无，影响要弱一点 强关联逻辑： (1)顺着箭头顺序看： 《有理数》是《整式的加减》的基础 （翻译：《有理数》计算有问题-大概率上《整式加减》也会有问题） 《整式的加减》是《一元一次方程》《整式乘除》的基础 （翻译：《整式的加减》计算有问题-大概率上《一元一次方程》《整式乘除》的计算都会有问题） 《一元一次方程》是《二元一次方程》基础 （翻译：《一元一次方程》计算有问题-大概率上《二元一次方程》的计算会有问题） 《整式乘除》是《因式分解》的基础 （翻译：《整式乘除》计算有问题-大概率上《因式分解》的计算会有问题） 这就是强关联，前面模块学习的好与坏，直接关系到后续模块的学习 (2)逆着箭头顺序看： 要想熟练解决《整式乘除》需要《整式加减》的知识 （翻译：要想解决《整式乘除》的问题，首先需要排查的是《整式加减》，如果《整式加减》没有问题，那就直接梳理《整式乘除》存在的问题即可） 要想熟练解决《二次根式》，需要《分式》和《实数》的知识 （翻译：要想解决《二次根式》的问题，首先需要排查的是《分式》和《实数》的掌握情况。如果《分式》的计算有问题，那就要接着排查《因式分解》，一直找到根为止） 弱关联逻辑： 《整式加减》和《实数》是弱关联 从《整式加减》开始，在计算上开始引入字母参与运算，如果在《整式加减》的这个位置，孩子理解计算规则出现问题，那么可以从一定程度上推导，孩子在《实数》运算规则中引入“根号”的时候，也可能会出问题 《一元一次方程》和《整式乘除》的弱关联 因为《整式乘除》中部分比较综合的题是会结合《一元一次方程》的内容，这个是从教材内容编排的顺序考虑。 如果把这部分综合题去掉，当孩子学完《整式加减》之后，也是可以学习《整式乘除》的。 但是实际情况来看，这个是做不到的。因此，它们之间的联系是弱关联。 由此可见，数学的学习，尤其是计算，它是环环相扣的，一旦某一个阶段产生的问题（尤其是前期）没有及时解决的话，随着时间的推移，它会影响后续的整条内容链。 这也就是为什么大家总说： ”初一不上不下，初二两级分化，初三一个天上，一个地下“ 因此，对出初二，初三的孩子来讲，要想解决计算问题，就必须要先排查强关联模块是否存在问题（也就是要找到问题的根），优先解决强关联模块的问题之后，再解决弱关联模块的问题。 （这一点虽然是写给初二，初三的孩子的，但是小学高年级段也同样适用） 这也是为什么我说《有理数》是整个初中阶段数学计算最基础的，最核心的内容 3 前面的框架介绍完了，接下来，我们来看一下《有理数》这章的具体内容  从《有理数》开始，孩子们所接触的数的范围开始扩充，扩充了负数。 孩子们会在学习了数轴，相反数，绝对值这三个基本概念之后，开始学习有理数的计算法则，先从加减开始，然后是乘除，最后是乘方和混合运算。最后是科学记数法和有效数字等几个琐碎的概念。 对于刚上初一的孩子来讲，《有理数》这一章的主要挑战有三个： (1)能否快速，准确的记忆的这些概念和规则，并根据规则进行计算。 比如：下面的两个非常的经典的错误：  这两个错误就属于非常典型的规则不清楚，纯凭感觉做题，为啥这样做？因为这样最简单，最方便 (2)有理数混合运算时，弄清楚乘方对符号的影响 比如，-2^2和(-2)^2有什么区别，前者表示-2×2，后者表示（-2）×（-2）  (3)去括号法则：括号前面是负数的时候，括号里面的每一项都要变号 很多初二，初三的孩子还会犯这个错误。 当孩子把这一章的基本内容掌握之后，还会进一步的学习它们的拓展和延申内容： 比如，与绝对值化简有关的零点分段法，用数形结合思想去解决一系列绝对值的和最小问题等。这个方面，我们暂时就先不展开了 接下来，我们先回归基础内容，来聊一聊细节问题。 (1)负数 负数的引入是为了和正数一起来表示具有相反意义的量。在这个位置，我们用生活中一些常见的现象来解释负数的概念。 比如，温度计上的0℃以上和0℃以下 比如，银行存款额增加和减小 比如，做生意赚钱和亏钱等 这个位置只需要大家能够了解什么是负数，能够根据具体情境进行识别就够了 (2)有理数及其分类 什么是有理数？ 整数和分数统称为有理数 有理数有两种分类方法： 按照定义来分：  按照正负来分：  这个地方，孩子们的容易出现的问题是： 混淆两种分类的方法，概念判断类的问题易错。 (3)数轴 规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴  数轴的三要素：原点，正方向和单位长度 数轴本身的内容并不难，它的主要功能和定位是工具。 ①比较数的大小，右边的数大，左边的数小，尤其是负数， ②辅助孩子们来理解加、减、乘、除的运算规则 ③数形结合思想，解决一系列绝对值求最值的问题 ④为以后的平面直角坐标系做准备 (4)相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，特别的0的相反数是0 相反数的性质： 若a与b互为相反数，则a+b=0 相反数的几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求一个相反数的方法： 在这个数的前面添加上一个负号：“-” 这个时候就会衍生两个经典问题：  尤其是第①个，这个问题绝对是孩子们出现错误的重灾区，有非常多的孩子会它是正确的。 (5)绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值 （一般情况我们把这条叫做绝对值的几何意义） 由绝对值的定义，我们可以知道，既然是距离，那它肯定不可能是负数 因此，我们可以得到： 一个正数的绝对值是它的本身 0的绝对值是0 负数的绝对值是它的相反数 （一般情况我们把这条叫做绝对值的代数意义） 我们把代数意义进一步的用符号语言精简，就变成了  有的时候，为了图省事，我们又会把它进一步写成  于是，很多孩子按照这种方法来记忆的话，大坑就产生了。比如：  就这样一个看似简单的问题，就坑了无数的孩子，有多少孩子的答案是：a<1 ，说多了，都是泪！~ 绝对值这个地方还有很多内容可以细细的展开。 比如像前面提到过的零点分段法，根据绝对值的几何意义求最值，初学的时候就不建议展开了。 难度挺大的，绝大部分的孩子会蒙圈。 (6)加法法则 ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0 ③一个数同0相加，仍得这个数 这些规则的引入，我就不细讲了，每个老师都会有自己引入的方法。 我们来聊一聊孩子们容易出现的问题。 有理数的加法法则引入了分类讨论，要想进行加法计算，孩子必须要明确是按照哪一条规则来进行的计算。 比如；(-2)+3表示的是-2与3的和 因此根据加法法则： ①先确定和的符号是“正”， ②然后在计算绝对值3-2=1 ③最后结果为1， 把这个步骤表现在书写过程中，就是 这样写，虽然复杂，但是对加法规则的理解是最深刻的。 殊不知，有的同学为了图省事，就经常不按这个步骤写，等到有一天，对加法规则有所生疏之后，就经常会出现这样的情况 如果你提示一下，孩子也能意识到错了，也能改对，但这就是凭感觉做题，下次还有可能会出现同样的错误。 学习完加法法则之后，孩子们还会接着学习加法交换律和结合律。 这个部分主要是为了简便计算做准备的，小学也会接触到，我就不展开了 (7)减法法则 “减去一个数，等于加这个数的相反数” 减法法则就这一条。 在学习减法法则的初期，我一般都会要求孩子们把转化的过程写出来，来强化对规则的理解和运用 不然会有很多孩子出现下面这样的错误： 这个错误产生的原因就是典型的不按规则办事，凭感觉。 (8)乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对相乘 ②任何数同0相乘，都得0 在乘法法则中，最难理解的是负负得正 很多课本上是从找规律的方式引出的，但是这种引入的方法并不是所有孩子都能理解的，只不过是时间长了，“负负得正”大家都背下来了。 学习完乘法法则之后，孩子们还会学习倒数，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律。这部分内容和小学相比，就是多了负数，我就不展开了。 (9)除法法则 “除以一个数，等于乘这个数的倒数” 除法法则也就这一条，遇到除法运算时，一定要先将除法转化成乘法，另外还需要注意运算顺序 不然容易出现下面的错误： 它的运算结果可不是1，而是4，还是那句话，计算不能凭感觉。 (10)乘方 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 乘方有关的概念并不复杂，容易出现问题的是与乘方有关的运算 比如： 这个位置很多同学会出现错误 (11)科学记数法和有效数字 这块内容没那么复杂，我就不展开了。 最后，总结一下,从上面的内容，我们可以看出： 对于新初一的孩子来讲，这一章的内容还是非常多的。孩子们能不能快速，顺利的过渡到初中，除了习惯，心态上，更多的是取决于孩子们是不是能快速的掌握这些知识和规则，并能根据这些知识和规则解决问题。 4 我们最后来谈一谈： 什么是练规则，什么是练感觉？ 练规则： 是指孩子对运算规则掌握门清的情况下，通过一定量的习题，按照规则一步一步的书写计算的过程，强化对计算规则的理解 样例： 练感觉： 是指孩子对运算规则了解，但是有的规则不是特别清楚，然后通过一定量的习题去找解题的感觉，当这种感觉消失后，又会出现反复。在书写计算的步骤中，通常会有大量跳步情况出现。 样例： 那你家的孩子计算这块是练的是规则？还是练的是感觉呢？ 好了，今天我们就先聊到这里，我们下一周再见 |
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