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几何学的发展历史横跨数千年，从古埃及和古希腊的欧几里得几何，经过文艺复兴时期的解析几何和笛卡尔坐标系的引入，到19世纪黎曼、洛巴切夫斯基和波亚伊提出的非欧几里得几何，再到20世纪爱因斯坦广义相对论的几何解释，以及现代拓扑学、微分几何等领域的不断扩展，几何学一直在不断发展，为人类对现实世界的理解提供了宝贵的工具和视角。
在我们的日常生活中，几何形状无处不在，从自然界的美丽花朵到人类设计的建筑，再到浩瀚的宇宙结构，它们都遵循某种几何规律。《几何的力量》一书，深入探讨了隐藏在各种现象背后的几何学原理，为我们提供了一个全新的视角来重新审视我们所了解的世界。这本书充分展示了几何学在现实世界中的力量，使我们认识到几何不仅是一门学科，更是一种理解世界的独特方式。 作为一名热衷于数学科普的人，我非常喜欢向大家分享数学的美妙之处。在阅读了《几何的力量》这本书后，我发现它正是我所追求的那种能够展示几何学魅力的作品。 本书涵盖了几何学在信息、生物学、策略、民主等领域的应用，以及几何学在艺术、哲学和教育中的重要地位。书中的实例丰富多彩，使得复杂的数学概念变得生动有趣。读者在阅读过程中，不仅能够了解几何学的基本原理，还可以领略到几何学在现代科学和社会中的重要性和广泛应用。 本书一开始，作者就揭示了教育领域对几何学的误解和误用，对此我深表同感。僵化死板的教学方式实际上掩盖了几何学的真正价值。如果没有像洛巴切夫斯基、波亚伊和黎曼这样具有非凡想象力和创造力的人物，我们可能仍然停留在欧几里得几何的时代，那么许多伟大的科学发现，如爱因斯坦场方程，或许也无法及时面世。 随着阅读的深入，我对作者对莫比乌斯带和三体问题的阐述感到惊叹， ……如果想要同时跟踪所有三个运动中的天体，那么每个天体需要六个维度，总共十八个维度。在页面上的图片无法帮助你了解十八维稻草中有多少个孔，更不用说区分十八维稻草和十八维裤子了。我们需要一种新的、更正式的语言，这种语言将不可避免地与我们关于孔的数量的固有概念分离。这就是几何学的运作方式：我们从物理世界中形状的直觉开始（还能从哪里开始呢？），我们密切分析这些形状的外观和运动方式，如此精确地描述它们，以至于我们在需要时可以不依赖直觉来谈论它们…… 此外，作者还通过庞加莱的“第四几何（挤压几何）”这一概念，突显了几何学在物理学领域的重要地位。书中阐述了“第四几何”对洛伦兹时空研究的深远影响，为我们揭示了几何学在科学发展中所扮演的关键角色。在洛伦兹时空中，光速被内置到几何中，这与挤压平面的概念有一定的相似性。挤压平面可以看作是相对论物理学的一个简化版本，它假设空间只有一个维度，而不是三个维度，与时间的一个维度结合形成二维时空。尽管庞加莱提出了第四几何的概念，但他并没有发展出相对论。阿尔伯特·爱因斯坦在1905年从对称性的角度推翻了物理学的传统观念，开创了相对论。随后，数学家们开始将爱因斯坦的时空理论转化为几何基础。诺特在1915年建立了对称性与守恒定律之间的基本关系，将一系列杂乱的计算整理成一个整洁的数学理论。诺特的理论为物理学和数学界奠定了坚实的基础，她的贡献被永远铭记在科学史册中。纯粹的数学被认为是逻辑思想的诗歌，诺特和她的同行们为我们揭示了自然界中隐藏的美丽和谐。在经济学领域，作者讲述了巴舍利埃（法国数学家，在金融数学和随机过程领域做出了开创性贡献）在巴黎证券交易所观察到的债券价格波动，提议用数学方法来分析这些运动。尽管庞加莱对将数学分析应用于人类行为表示怀疑，但他最终对巴舍利埃的论文给予了热情的评价。巴舍利埃的论文主要研究了如何确定期权的适当价格，他认为债券价格应被视为一个随机过程，每天上涨或下跌。他的结论与罗斯和瑞利的结论相似，即在一定时间内，价格漫游的距离通常与时间的平方根成正比。尽管巴舍利埃的工作没有立即得到广泛认可，但他的观点后来在数学金融领域变得非常重要。例如，伯顿·马尔基尔的投资书《华尔街随机漫步》向大众传播了这一观点，主张投资者不要试图预测市场的涨跌，而应将资金投入指数基金。同时，书中还讲述了马尔可夫链与香农信息论在通信技术领域的重要性。瓦尔科夫最初专注于纯粹的抽象概率论，对实际应用并不关心。然而，最终他将自己的理论应用到了俄罗斯诗人普希金的诗歌中。马尔科夫对普希金的《尤金·奥涅金》进行了字母分析，发现辅音和元音之间存在特定的概率关系。电子计算机的出现使得对文本的更复杂分析成为可能。谷歌研究总监彼得·诺里格使用了一个庞大的文本语料库来计算字母之间的概率。他发现，英语中字母序列的出现频率受到马尔科夫链的影响。通过将文本视为字母或双字母组序列，我们可以更深入地了解英语文本的结构。克劳德·香农使用马尔科夫链根据双字母组的概率生成了类似英语的短语。进一步扩展到根据婴儿名字列表生成名字，马尔科夫链可以捕捉到不同时代的命名风格，并呈现出一定的创造性。文章提出了一个问题：是否可以将语言视为一个马尔科夫链？虽然并非完全如此，但现代马尔科夫链确实可以生成类似人类语言的文本。类似于香农的文本生成器，GPT-3也是一个基于马尔科夫链的算法，其输入是长达数百个词的文本片段。尽管GPT-3有时生成的句子在字面上没有意义，但它们看起来仍然像是从原文中提取出来的。文章接下来讨论了想象中的克劳德·香农如何处理未曾遇到的字母组合问题。这种处理方式引出了关于文本接近度和几何形状的问题。在人工智能方面，作者指出新一代机器，如AlphaGo，使用了更高级的几何评分机制。要找到一个接近完美策略的方法，需要探索策略空间的几何，这比绘制一棵树（tree，一种数据结构）要困难得多。最终，解决问题的方法是依赖于最粗糙、最强大的方法：试错。在《几何学的力量》的第八章，作者探讨了距离如何用于描述不同类型实体之间的关系，包括地理位置、个性特征和政治观点。距离在地理学中被用来描述城镇或地区之间的距离，从而描绘地图的形状。而在个性特征研究中，距离用于衡量两种特质之间的相似程度，以及在多维缩放中创建个性特征地图。此外，政治科学家也利用距离来衡量国会议员之间的投票相似性，并通过将议员放置在地图上来可视化这些关系。这种方法的优点是，它能够提供对实体之间关系的一种几何直觉，但也存在一些限制，例如在一些情况下无法完美地匹配距离。进而，作者介绍了一种称为Word2vec的数学工具，可将每个单词映射到一个三百维空间中的一个点。通过分析单词之间的几何关系，这个工具可以帮助我们更好地理解人格特质、政治观点和语言等领域的结构。虽然三百维空间难以想象和理解，但是Word2vec等工具为我们提供了一种独特的方式来研究和理解我们周围的世界。这些工具使用距离的概念来定义单词之间的相似性，将相似的单词放在距离不太远的点上。然而，这些方法并不是万能的，不能捕捉到所有类型的词汇关系。在此仅简要介绍了7个主题，而《几何的力量》整书包含了超过70个主题，它深刻地揭示了几何学在科学、技术和人文领域中的广泛影响，同时通过生动的实例让读者感受到几何学在日常生活中的实际应用。这本书不仅为专业人士提供了全新的视野和启发，也让普通读者得以领略几何学的优美和强大。阅读这本书后，我们将重新认识到几何学在现代社会中的关键作用，从而更加高效地运用这门学科解决实际问题，提升生活品质。
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