线性代数行列式知识点总结

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绪论

       行列式是线性代数的一个重要研究对象，是线性代数中的一个最基本，最常用的工具，本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等。

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目录

1. 行列式的计算

2. 利用行列式计算线性方程组的解

3. 上（下）三角行列式、对角行列

4. 行列式按行或按列展开

5. 行列式的性质

行列式的计算

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 二三阶行列式          

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上（下）三角行列式       

（1）利用行列式的性质，将所求行列式化为上（下）三角行列式；
（2）进而利用上（下）三角行列式性质计算其主对角线元素乘积即可.

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 行列式按行（列）展开          

（1）利用行列式性质，将某一行或某一列的元素尽可能转化为0；
（2）进而将行列式按该行或该列展开.

计算线性方程组的解

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例题        

上（下）三角行列式、对角行列式

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定义        

     主对角线以 下（上）的元素都为0的行列式叫做 上（下）三角行列式
  请注意：定义中 上、下的对应关系，即 0 应该在主对角线的哪一边
  主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

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 性质         

上（下）三角行列式

对角行列式

行列式按行或按列展开

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定理       

一个n阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij 外都为 0，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，记作：D=aij×Aij

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，记作：

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 例题         

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 拓展         

   1、范德蒙德行列式

    2、特殊运算

行列式的性质

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性质总结       

1. 行列式与它的转置行列式相等

2. 对换行列式的两行（列），行列式变号

3. 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式 = 0

4. 行列式的某一行（列）中所有元素都同乘一数 k，等于用数 k 乘此行列式

5. 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

6. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式 = 0

7. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以拆分为两个行列式的和

8. 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数后加到零一行（列）对应的元素上去，行列式不变

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全文总结

行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。希望同学们能够认真学习，打下良好基础。