在数学上什么是空间、场、丛？

【温馨提示：如果你想理解本文主体，尤其是关于核心“丛”的部分，我们需要你有至少高等数学和线性代数的基础以及这个层次的分析理解能力】

本文有点长，希望对感兴趣的朋友提供一点入门介绍。我们先介绍空间和场的概念，这些知识作为铺垫是必要的。在丛的部分，我们通过较为严谨的定义来构造一个复杂的复合结构——纤维丛，这个东西可以把空间、场和丛的概念统一到一个极具威力的框架下。

●数学的空间和物理的空间本质来讲不是一回事，对于现代数学来说，数学的空间其出发点和落脚点都是为数学自身服务的，它不需要考虑其它非数学因素。像赋范线性空间、拓扑空间、切空间等等。然而当数学与物理或者现实世界的内容结合时，它对空间概念的要求就不同了，一般来说，它要符合被研究对象的物理性质，因此，这样产生的空间概念必然在某种程度符合现实世界或者人们的某种感知，像仿射空间、欧氏空间等等。

数学的空间与一种叫“结构”的数学对象类似。结构一般由至少两个对象组成——被研究对象形成的集合、以及在该集合内部约定的某种元素间的关系(例如序关系、运算关系)。当然也可以同时存在多种关系。数学的空间也是如此，因此从数学的角度看，空间和结构其实是一回事，只是称呼上不同而已。

从普及性的角度来说最著名的数学空间就是向量空间Rⁿ(n为≥1的自然数)。我们在里面可以进行n维向量的加法和数量乘法。这些运算法则都是向量空间元素之间的一种运算关系。其中，系数与向量的乘法可以看成是向量的自作用，因为系数所在的集合是向量空间定义中必须确定的参数——严格地说，所谓向量空间其实是F-向量空间。F是一种代数结构，它指定了空间的每个向量的分量在什么集合中取值，因此你可以将F理解为某个集合，在线性代数的课程中这没有区别，区别要在近世代数的课程中体现。

将3维以下的数学空间推广到高维的第一人是数学大师亚瑟·凯莱，矩阵和行列式的概念也是他的杰作。

为了与后面的内容练联系，我们需要说明什么叫“一点处的向量空间”。

根据定义，数学空间不是一定非得是三维的，它就是一个带有关系的集合，所以一维的线，二维的面都是数学的空间。代数学大师沙法列维奇曾说，代数学发展的第一步就是寻找被研究对象的各种不同的度量！为了让数学的空间能更好地展开几何与分析的内容，我们需要测量手段，勒内·笛卡尔给我提供了这个工具——直线直角坐标系。而具体的度量方式就是耳熟能详的欧几里得几何(尤其是其勾股定理)。有了这两个东西，平面就可以看成“坐标系原点的空间”，因为平面的任意向量(长度有限的箭头)都可以通过平移将起点移到坐标原点，从而可以对其进行坐标描述(向量的终点向两个坐标轴做投影，得到相应分量，分量通过勾股定理与向量的长度保持数值上的一致)。

因此，所谓一点处的向量空间，其实就是以该点为原点建立一个坐标系，从而描述一个以原点为起点，终点为全平面所有点的向量空间。这个概念当然可以推广到高维和更加抽象的向量空间。高等数学中会涉及空间解析几何，里面曲线在一点处的切线和曲面在一点处的切平面都是一点处的向量空间的例子。

●来看场的概念。在物理中，物理量在空间上的连续分布称之为场。换句话说，对于一个物理量我们要求在空间的每一点都指定一个该物理量的值，于是这种遍布于整个空间的物理量的值的全体就是描述该物理量的场。一个教室里，每一点都有一个温度值，仅就这个教室而言，这就是个温度场。场总是充满所在空间。物理上的场是一种物质形态。

数学上的场是物理上场的抽象。我们将它定义为一种“函数”，在多元微积分中，场被称为“场函数”就是这个原因。它是以背景空间中的点为自变量，也就是常说的“场是空间的函数”【这正体现了场充满空间的特性】。场值【即函数值】一般来说是个多维向量，具体是几维的要看是什么场，温度场在3维空间的每点都只有一个分量，因此温度场就是一个3元1维的向量值函数，即；星球附近的引力场在星球邻近空间的每点都是一个指向球心的3维向量，所以它是一个3元3维向量值函数，即。

场，是一种n元m维向量值函数

注意，场值是0维向量和一维向量的区别。它们都只有一个分量，但是前者是一个固定【或者说确定】的数值，不随空间位置而变换，即，它是个常值函数；后者是个变量，不同空间点的场值不一定相同，它是个n元函数。

当然了，场还可以更复杂，数学上存在比向量更高级的对象，它的分量更多。把握场概念最重要的是它的“函数性质”——空间的每点只能有一个场值，至于该场值在坐标系中分解成多少个分量，那都是一种坐标描述，坐标分量个数不是场值个数，要注意分清这个。还是以引力场为例，它在空间每点的只有一个场值，即该点处的引力值【引力大小】，这个引力值是一种向量，在3维空间的坐标系里会被分解为三个分量，于是它长下面这样

等号右侧最外面的圆括号表示行向量，里面是它的分量。它其实是用这三个坐标分量来表示这一个场值【在某点处，具体在哪一点由坐标x，y，z确定】，而不是说场在空间每点都是三个场值。

●下面我们来看丛的概念。丛是一种极为平常却不被广泛认知的数学对象。为了描述丛，我们需要引入一个概念——微分流形。

什么是微分流形呢？这个比较复杂，把概念摊开了讲没啥意思，你就当它是那种不撕裂不粘连的曲线和曲面。把握微分流形就注意以下几点：

一，通常说的流形其实是拓扑流形，因为这个概念是诞生于拓扑学的【你就理解为拓扑学上的一种空间】，但是几乎每本标准教材都把这个简称给了微分流形【我们也这么做】，然而拓扑流形不都是微分流形，而微分流形一定是拓扑流形，因为微分流形的全称是带有微分结构的拓扑流形。所谓微分结构其实就是个集族，具体是啥不用管，只要知道有它存在，微积分和高级分析学的相关技术就能在拓扑流形上施展了。

二，它不一定有整体的坐标系，因而一般聊它的时都是它的局部怎样、怎样。

三，引入微分思想，微分流形一般是一种“曲面”，所以我们要求它的局部或者说无穷小区域要和欧氏空间“长的像”【存在同构映射】，这样我们才能把欧氏几何和代数的内容移植到流形上。

四，因为是局部坐标系，所以其覆盖范围有限，那么同一个流形上的点可能被两个坐标系重复覆盖，这时我们要求两个坐标系满足坐标变换的光滑条件——坐标变换要求有任意阶导数【坐标变换其实是映射的复合】。

●下面我们构造一种双层结构，下层的流形叫底流形，用M表示，上层叫丛流形，用E表示。丛就是主要指的这个丛流形。我们还要赋予丛与底之间的一种联系，使得我们在底流形上面逐点检查时，都能找到丛上唯一的对应。为此我们引入两个工具：逆像与笛卡尔积。

逆像：

丛与底通过投影映射与其逆像联系【注意，这里的逆像不是逆映射，丛的投影不是双射，没有逆映射，因此逆像只能写成集合形式的等式，不能写成像投影那样的、带箭头的函数表达式】。逆像作用的对象是底流形的点，得到的是丛的“局部结构”。在代数上，逆像有个别称——纤维，于是底流形在x点的逆像也叫x处的纤维，记为。投影正好是其“相反作用”——它是把丛的某个纤维映射到底流形所对应的点上，即，两边取其逆像有 即，这就是我们前面说的“逆像又称纤维”。让x取遍整个底流形M，则有，这就是丛流形。这里的并是无交并——任意不同的两点的纤维的交集为空集。【为了加深理解，做个比喻，头皮就底流形，所有头发就是丛流形，每根头发就是头皮上对应毛囊所生长的纤维，当然我们约定一个毛囊只有一根头发】

笛卡尔积：

在构造丛的局部结构时，我们依然要求丛与底流形有联系，我们定义丛的结构为：，U是底流形上的一个有局部坐标系的小区域【这就是为什么说流形常讨论局部坐标系】，F叫纤维型，一般来说是我们熟悉的某种数学结构，它体现每点对应的纤维的特性，但是纤维型F并不直接与每点的纤维相等。我们要求有如下关系：

一，必须与【如果用前面的比喻，就相当于你用手抓起的一把头发】长得“像”。这种像应该是一种等价关系，也就是数学上常说的同构。流形是分析与拓扑领域的概念，这两者结合形成的同构叫微分同胚【你就大致理解成，它是一种可以求导、有连续性的双射。微分同胚是微分几何、大范围分析、微分拓扑等领域最重要的概念之一！】。即是微分同胚。两个微分同胚的对象拥有相同的维数，又因为笛卡尔积的维数是，所以丛流形与维数相同，即。

二，当局部区域U退化为一点x时，应该有，即是与长得像【微分同胚】。这里要注意，的第一个位置的对象必须是带括号的x，因为这是集合的笛卡尔积，x是R是元素不是集合，不能参与构造笛卡尔积，而{x}才是R是子集。我们把拥有这种纤维结构的复合体，叫做纤维丛【记为，它表示具有丛流形、底流形、投影和纤维型的纤维丛，丛流形只是纤维丛的一个部分，注意区分概念】。

●如果在底流形上的每一点x都指定一个该点纤维中的元素p，即定义映射，，并且满足，我们叫映射S为丛E的截面。

●这些似乎有点复杂，为啥要把丛构造成这个样子？我们举个典型的例子，把前面所有的内容联系起来。

看上图。它是我们常见的指数函数，它的定义域是整个实数集R。现在我们在平面上引入笛卡尔坐标系，原点为O。

实数集R是一维流形，也是一维向量空间【里面的向量就是实数】。现在x轴既是测量工具【坐标轴】也是被测量对象【一维流形R】。我们让它为底流形M，即M=R。根据纤维丛的定义，R的每点都要有一个纤维，它必须与微分同胚。我们让纤维型F也取R，即一维向量空间，于是这个微分同胚就是。这表明x点处的纤维就是该点处的一维向量空间R，你应该想到了这就是那条平行于y轴、且经过x点的直线。而且这个直线正是“一点处的向量空间”——每条这样的直线都是以相应的底流形的点x为“原点”的一维向量空间，向量空间的每个向量【直线上的某个数】都可以在定义好单位长度后，从相应的“原点”x引出的有向线段进行唯一“定位”。

当x=原点O时，就是y轴。我们看到任意两个不同的点p、q，它们的纤维和是不相交的，于是我们有。根据我们对纤维的描述，你应该猜到了整个丛流形应该是全平面，即。从维数公式上也能看出：丛流形E的维数是，正好是平面的维数。由此可得投影表达式，集中于每个纤维，我们有。

当然，你可以让每条纤维都是不垂直x轴的斜直线，这没问题，唯一要变的是整个坐标系将不再是笛卡尔的【正交的】，它是一个直线斜角坐标系。因为不然的话，原点O的纤维【y轴】如果还是垂直于x轴、而其它纤维都是相互平行的斜直线，那么它们必然与y轴相交，这与纤维无交矛盾。

现在我们在底流形R的每个点的纤维上取一个元素，也就是从每条平行于y轴的直线上取一点。且定义底流形的每点与对应纤维上所取的点通过函数，联系。对于每个固定的有，当x取遍整个底流形的每个点时，丛流形上就得到了一条符合函数值轨迹的曲线。根据上面投影的表达式有，因此对纤维的元素就有，此式即【因为，】。由截面的定义知，是丛流形E的截面。

如果你还记得场的定义，你就应该发现，场和丛截面很像，没错，从丛的角度来说，场就是“丛截面”！这是一个对于场来说的高级数学观点。扩展我们所举的例子，平面上、在笛卡尔坐标系里，任何连续的一元函数，其图像都是平面上的某条曲线，它们都是以x轴【一维流形R】为底流形、以整个平面为丛流形的丛截面，即它们都是R的场！【当然了，这里要看函数的定义域，像对数函数就是R的局部场，因为它的定义域只有R的正半轴，而指数函数就是整体场。丛上是否存在整体丛截面(整体场)，这是一个与拓扑性质有关的整体几何问题】

场和底流形维数相同，都是一维的。

注意，对于我们的例子来说整个圆周不是(R的)场，虽然它是一维的。这并非因为圆周以外的那些纤维都取0点【0点是奇点，有奇点的向量场需要特别注意】，而是因为在圆周及其以内，除与x轴相交的那两点以外，其它地方都与每点的纤维有两个交点，这意味着底流形R的这些点在该“场”处的场值有两个【例如原点就对应北极点和南极点】，这不符合场作为函数的定义。

总结：如果把纤维型取为某个向量空间，那么底流形每点处的纤维就是“一点处的向量空间”，全体纤维的无交并就是丛流形；在每个纤维上各取一点就形成了丛的截面，它们也是底流形的某种场。纤维丛的概念把空间、场和丛流形的概念统一起来，形成一个动态的整体。当年杨振宁先生在学会了纤维丛进而研究规范场论后去问陈省身先生：“你们数学家是怎么凭空创造出这些概念的？”陈先生摇着头说：“不，它们不是凭空创造的，它们是真实、自然的。”陈先生所谓的真实、自然应该这么理解：你在学、用数学时，平面和笛卡尔坐标系对你有多么真实、自然，纤维丛就有多么真实、自然！纤维丛从来都没有高屋建瓴到不可亲近，它就在我们身边，只是不学习它的人不知道它是以一种怎样的视角和方式来切入主题的而已。