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本篇我们还是讨论线性方程组，从代数和几何两个角度考察，以做到数形结合。 等价什么是等价，等价这个概念广泛出现在数学中，特别是线性代数中。 等价描述了一个本源在不同角度体现出的特征具有一一对应性。具体到线性代数，我们首先看，一个二元一次方程，在平面上就是一条直线。这个观点从初中就学过，无比自然。下面的三个方程组对应了下面三个直线组。  代数上有怎么样的二元一次方程，平面上就有这么样的直线，反之亦然。这就是等价。因为本身无论是代数上的方程，还是几何上的直线，都是在描述同一个东西。只不过一个是写出来的，一个是画出来的。 于是代数上的特性，都能反映在几何上。线性方程组有无解，就是几何上直线有没有交点。方程组的等价变换就是直线的变换。 方程组的等价对于方程组的等价，每本教材都有定义，也很简单，抄录如下： 等价方程组：若两个方程组具有相同的解集，则称它们是等价的（equivalent）。下列操作产生的新方程组与原方程组等价：
称为方程组的等价运算。 我们就自然思考，代数上的等价，对于几何上有没有对应的反映？即 代数上的等价，如何等价到，几何上的等价？ 等价的几何意义等价的几何意义是两组直线（平面）具有相同的交点关系。方程组等价运算的几何意义：
我们以如下的三个方程组，画出几何图形：  三个方程组是等价的，可以自己验证。代数上，形式不同，却有相同解集。几何上，直线不同，但有相同交点。 所以，一个方程组A，经过等价运算，我们得到一个看起来不太一样的方程组B，当然经过不同的等价运算，可以得到不同的方程组C,D,E,....无穷多可以。但其有一点是不变的，就是解集，这个就是方程组万变不离其宗的一个性质，这个性质是固有的，不变的，不会随等价运算而改变。 相应地，几何上直线也有等价变化，如上图，蓝线保持不变，红线变成竖直、水平。但还是万变不离其宗，这些直线就交于（2，0）。这个性质也是这一族直线的固有性质。 齐次方程和平凡解一开始看齐次和平凡，每个字都认识，单组在一起不知道，其实本意很简单。 所谓齐次，就是y=xa，即直线过原点，平面过原点，于是，所有齐次方程组合在一起构成的齐次方程组，对应几何上，就是多条过原点的直线。必然有解，原点么！ 原点就是所谓的平凡解。 方程组的相关概念这篇比较简单，事实上，教材还是定义了不少概念。有：
粗粗数来，也有十多个。教材都给出了严格的定义。需要深刻体会理解。 线性代数的究极问题我们已经不卖西瓜了，我们已经是数学家了！ 每个学科，都会回答一个问题，所有的概念、定理、公式，都是回答这一个具体的问题。越往后、越深入、我们获得的定理公式越多，角度也越多，手段也越多，考察问题越全面，回答起来越准确完全。 线性代数也是如此，我们要确定线性代数的究极问题——它要解决什么问题。什么问题归我管，什么问题不归我管。 显然，线性代数不考察初等函数，考察初等函数是微积分干的事情。什么是初等函数，有什么性质（可导、连续、可积），什么是好函数，如果不好，如何用好函数代替坏函数？ 线性代数考察的是系统，一个线性系统，在代数角度，就是一个方程组，于是线性代数这门课要回答三个问题：
第1、2个问题，是非常数学的，第3个问题是非常工程的。学习数学时，我们需要解答1和2，学习各种定义和定理，公式。到了实际中，往往方程组是没有解的，我们需要一个近似解。 就像我们在微积分中实际碰到的函数，都不是可导可积，或者说非常难获得解析解，于是我们采用多项式展开、泰勒展开、傅里叶变换，用一组好的、容易的函数的集合（函数级数）来代替原有的函数，好处理！ 对于1、2，我们先引入“矩阵”和“向量空间”两个概念，用数学语言回答这两个问题。对于问题3，我们引入“内积”、“正交”、“最小二乘”、“逼近”等概念，回答第三个问题。之后的学习，我建议采用这么一套步骤：
以求“数形结合”的学习效果。这是学习的方法，也是数学发展的历史过程，也是几乎所有教材的编排。 想来微积分也是如此，先定义极限、导数、积分等各个定义，整个逻辑范围框定好。然后推导一系列公式定理，链式求导法则、部分积分法等。最后用到实际，求解微分方程、进行傅里叶变换等。 结尾罗里吧嗦一大堆，总结一下：
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