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人类很早就会测量直线段了，但是测量曲线的长度则比较难。最简单的曲线是圆。可以想象，当祖先们发现不论圆的大小如何，圆的周长与直径均成一固定比例时，一定是狂喜的。 周长与直径的这个比例称之为圆周率，记为π。π是第十六个希腊字母的小写。 这个符号，亦是希腊语περιφρεια（表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。1706年英国数学家威廉·琼斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”来表示圆周率 。1736年，瑞士大数学家欧拉也开始用 π表示圆周率。从此， π便成了圆周率的代名词 祖先们需要解决的一个问题是：π等于多少？ 一、圆周率的计算史 （1）远古时期 一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率=25/8 = 3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical
Papyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。英国作家John Taylor
(1781–1864) 在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why
was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。 （2）亚洲 中国，最初在《周髀算经》中就有“径一周三”的记载，取π值为3。魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆术”），求得π的近似值3.1416。 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。 公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。 印度，约在公元530年，数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为√9.8684。 婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。 （3）欧洲 阿基米德（公元前287-212）从单位圆出发，先用内接六边形求出圆周率的下界是3，再用外接六边形结合勾股定理求出圆周率的上限为4，接着对内接和外界正多边形的边数加倍，分别变成了12边型，直到内接和外接96边型为止。最后他求出上界和下界分别为22/7和223/71，并取他们的平均值3.141851为近似值，用到了迭代算法和两数逼近的概念，称得算是计算的鼻祖。 斐波那契算出圆周率约为3.1418。 韦达用阿基米德的方法，算出3.1415926535<π<3.1415926537，他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。 鲁道夫.万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。 历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。 把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。 二、圆周率的普适性 圆周率并不仅仅在与圆有关的计算中会出现，作为一个普适常数，他还会在很多场合意外地出现。 例如在下面这个蒲丰投针问题中就出现π的影子。 18世纪，蒲丰提出以下问题：设我们有一个以平行且等距（距离为a）木纹铺成的地板（如图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针（设长度为l），求针和其中一条木纹相交的概率p。并以此概率，蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法。这就是蒲丰投针问题。
以下是历史上一些学者利用蒲丰投针实验得到的π近似值
计算π的这一方法，开创了用偶然性方法进行确定性计算的先河，充分显示了数学方法的奇异美，从而促进了刚诞生不久的概率论与数理统计的发展。 说到概率，π还出现在下面两个概率中：“任意两个自然数互质的概率”和“任取一个整数，该整数没有重复质因子的概率”均为 1767年，瑞士数学家兰伯特证明了π是无理数。1882年，德国数学家林德曼证明了π是超越数。 尽管π既是无理数又是超越数，但是它仍然会以如此整齐的令人惊叹的分数形式出现下面公式里：
在一些重要的广义积分和重要的概率分布中也会出现π：
在物理学公式中也到处可看到π的影子，例如
三、关于圆周率的趣事 圆周率π是无限不循环小数，其小数点后面出现的数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9出现的概率是否一样?有人利用Python和第三方库Pandas对10个数字出现的频率进行统计，并绘制频率曲线图。通过对圆周率小数点后107600位数字的统计分析表明，各个数字出现的概率均为0.1。 有趣的是，有人还把π中出现的数字作为歌词写了《圆周率之歌》。 有人还专门设了一个圆周率日来庆祝数学常数π，时间被定在3月14日。通常是在下午1时59分庆祝，以象征圆周率的六位近似值3.14159，有时甚至精确到26秒，以象征圆周率的八位近似值3.1415926。习惯24小时记时的人在凌晨1时59分或者下午3时9分(15时9分)庆祝。全球各地的一些大学数学系还会在这天举办派对。 2018年3月14日，著名物理学家霍金先生逝世，于是，圆周率日又多了一层意义。 总之，尽管最初圆周率是因为圆的周长与直径之间的关系而被发现的，但是胡来发现它是一个普适的常数，在众多的科学领域里到处都可以见到它的身影。可以说，一方面圆周率的普适性让我们感受到了世界的统一性，另一方面反过来又让我们感受到了圆周率的神秘性，就像那部好莱坞电影的名字《π, Faith in chaos》所隐喻的那样，仿佛π隐藏了能解开混沌世界的密码。 [1]整系数代数方程的根称为代数数，不是代数数的数就是所谓的超越数。 |
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来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》
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