线段最值、旋转、瓜豆、等边△、手拉手，一个都不少

【分析】

（1）-  ①

AE、AF构成等腰直角三角形，由勾股定理直接求AE=√17

所以EF=√17 *√2 = √34

（1）-  ②  

由题意CE=m，S△ABE=AF*BE/2 = 4*(4-m)/2

S△FCE=EC*FC/2 = EC*(FO+OC)/2 = m*(4-m+4)/2

所以S= S△ABE +S△FCE = (-m² + 4m +16)/2

第一问的两个小问比较简单，我们就直接给出答案。

（2）E是动点，且AE=OA，显然E点轨迹是以A为圆心，AO为半径的圆。

依题意，OP是由OE顺时针旋转60°得来，

所以OP=OE，∠POE = 60°，符合瓜豆模型成立条件。

所以点P的轨迹也是圆，且半径=AO，现在只要找出P点轨迹的圆心M，

由瓜豆模型的结论，可知圆心M与圆心A与点O的连线也是60°夹角，且圆M的半径=圆A的半径，也就是说点M在点A的轨迹上。

这是这一问的最关键之处了。

轨迹确定，最大值就容易确定了，连接AM交圆M于点P',则AP'就是AP的最大值。

其实点P'就是圆M与x轴的交点，这个很容易证明。这里偏离本题的求解，不做证明。

如上图，此时点E的位置，就是上图的E'，也是两圆的交点。这里不做证明。

【求解】

（1）参考上面的分析

（2）

如上图，等边△AMO和等边△OP'E'共顶点O，构成手拉手模型。这道题也可以不用手拉手模型

连接AE', 

则△AE'O≌MP'O

简单证明：

∠AOE'+∠E'OM=∠P'OM+∠E'OM=60°，所以∠AOE'=∠P'OM

AO=OM，OP=OE'  (边角边）

所以∠OAE'= ∠OMP'，AE'=MP'=AO=4

△AMO是等边三角形，∠OMP'是其一个外角，故∠OMP'=120°。

所以∠E'AO=120°，

所以∠E'AB=30°

过点E'做E’G⊥AB，垂足为点G，

在Rt△E'AG中，AG=AE'*cos∠E'AB=2√3

E'G=AE'*sin∠E'AB = 2

所以点E的坐标为(2√3,6)

【小结】

这是瓜豆模型中最复杂的一个变式，主动点轨迹是圆，从动点轨迹也是圆，主动点、从动点与定点之间的线段夹角就等于主动点轨迹圆心、从动点轨迹圆心与定点之间的线段夹角；主动点、从动点与定点之间线段比就等于主动点轨迹圆心、从动点轨迹圆心与定点之间的线段比。

两个等边三角形共顶点，构成手拉手模型，很容易找出全等三角形。