​圆锥曲线切点弦一个三点共线的完美性质

圆锥曲线切点弦一个三点

共线的完美性质

广东深圳   杨俊    李启印

湖北武汉    邹生书

黑龙江哈尔滨王翰飞老师在高中数学解题交流二群提出了如下问题：

由圆外一点P作圆的两条切线，切点分别为A,B,过点P的动直线分别与圆交于C,D两点，过C,D两点作圆的两条切线相交于Q，判断Q,A,B三点是否共线。

很快几何专家李启印和解题高手杨俊老师分别给出了如下解法。

解法1：纯几何法   李启印   提供

Q,A,B三点共线。证明如下：

因为PA与圆相切于点A,所以AP⊥AO,

设PO交AB于点M,则AM⊥OP，由射影定理得

PA²=PM·PO,又由切割线定理得PA²=PC·PD,

所以PM·PO= PC·PD,

由双割线定理的逆定理知C,M,O,D四点共圆，

又由切线性质知∠OCQ=∠ODQ=90°,

故C,O,D,Q四点共圆,则C,M,O,D,Q五点共圆，

得∠OMQ=∠ODQ=90°，则∠OMQ=∠OMA=90°,

所以M,A,Q三点共线，而A,M,B三点共线，

所以Q,A,B三点共线。

解法2：用切点弦方程   广东深圳    杨俊  提供

不妨设圆的方程为x² y²=1,设P(a,b）,Q(c,d),

则切点弦AB所在直线方程为ax by=1,

切点弦CD所在直线方程为cx dy=1,

又直线CD过点P(a,b）,所以有ac bd=1,

所以点Q(c,d)在直线AB上,故Q,A,B三点共线。

圆的这个切点弦性质可以推广到椭圆双曲线，因此，有如下性质：

推广1：由有心二次曲线外一点P作曲线的两条切线，切点分别为A,B,过点P的动直线分别与曲线交于C,D两点，过C,D两点作曲线的两条切线相交于Q则Q,A,B三点共线。

证明：设有心曲线的方程为ax² by²=1

(ab≠0,a,b不都小于0),设P(m,n）,Q(c,d),

则切点弦AB所在直线方程为amx bny=1,

切点弦CD所在直线方程为acx bdy=1,

又直线CD过点P(a,b），所以有amc bnd=1,

所以点Q(c,d)在直线AB上,故Q,A,B三点共线。

无心曲线抛物线也有此性质

推广2：由一点P作抛物的两条切线，切点分别为A,B,过点P的动直线分别与抛物线交于C,D两点，过C,D两点作抛物线的两条切线相交于Q则Q,A,B三点共线。

证明：设抛物线的方程为y²=2px(p>0),

设P(a,b),Q(c,d),

则切点弦AB所在直线方程为by=p(x a),

切点弦CD所在直线方程为dy=p(x c),

又直线CD过点P(a,b),所以有db=p(a c),

所以点Q(c,d)在直线AB上,故Q,A,B三点共线.

综上可得二次曲线的切点弦有如下三点共线的完美性质：

性质：由一点P作二次曲线的两条切线，切点分别为A,B,过点P的动直线分别与曲线交于C,D两点，过C,D两点作抛物线的两条切线相交于Q则Q,A,B三点共线。

此性质也可表述为：

性质：已知AB,CD是二次曲线的两条弦，曲线在A,B处的切线相交于点P，曲线在C,D处的切线相交于点Q，若点P在直线CD上，则点Q在直线AB上。