2023新高考I卷压轴题-解析几何和不等式的结合

前几天又一年的高考结束，这次的题目设置和以往相比有所创新，以一道解析几何题作为压轴题。这道题出的比较新颖的原因在于它不是一道单纯的解析几何题，还涉及到不等式，所以我想这是将其放于最后位置的原因。而这次的函数综合题则难度较小，用函数求导求极值的方法即可解答。现在来看看这道解析几何兼不等式的试题吧。

第一小题非常简单，动点到一条轴的距离等于它到一个点的距离其实就是圆锥曲线的统一定义。

第二问要证明矩形的周长大于三倍根号三，设直线方程和用代数式表达矩形周长这一部分并不困难，有一定基础的学生都能做到。在这道题里，矩形的周长用两条相互垂直的直线段的和的2倍表示，里面有两个变量，矩形直角顶点的位置是一个变量，直线的斜率也是一个变量，于是最后的表达式里有两个变量。问题就转化为证明含有两个变量的函数大于三倍根号三。

对于解析几何题，常见的就是证明过定点，或者证明两线段成比例，或证明三点共线，它们最后都归结为证明某个代数恒等式。但这里是证明一个不等式，高中数学常用的的方法就是基本不等式、函数求导或者放缩法。基本不等式和函数求导相对来说方法比较固定，而放缩法则更加难以把握。而这道题的难点就在于要经过两次缩放才能得到我们想要的式子。由于是解析几何题，可能学生都没做好使用不等式方面技巧的准备，所以更考察学生的创新思维和灵活应用的能力。

（2）证明

这道题的难点就在于证明这个含两变量的不等式，首先用两次缩放消去一个变量，变成关于k的函数，然后用对函数求导的方法求出函数最小值，对函数求导求最小值算是常规操作，那么对于大多数学生来说最难的点就在于两次缩放了。两次缩放的目的在于消去一个变量，如果学生围绕这个目标来思考，就能够找到正确解题方法。