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一.判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例. ECNU201601 对数列的任意两个子列和均有,则收敛. 解 正确,反设结论是不成立的,则, , ,有,取,使得,取,有,依次有使得,这与题意矛盾. ECNU201602 若在沿任意方向的方向导数都存在,则偏导数, 均存在. 解 错误,取,有 于是偏导数, 均不存在,但是. ECNU201603 设函数在上连续,当时, 以为渐近线,则在上一致连续. 解 正确,由于,令,于是对任意的,存在,对任意的,都有,于是对任意的,且,有 由Cantor定理,知在上一致连续,于是存在,当时,有,取,则对任意,且,都有. ECNU201604 若级数收敛,数列满足,则收敛. 解 错误,反例如下:,而是发散的. ECNU201605 若函数在区间上有原函数,则在上无第二类间断点. 解 错误,反例如下: 其中是第二类间断点,但有原函数 ECNU201606 若函数在的任意子区间上可积,且,都存在,使得,则收敛. 解 错误,取是发散的,而. 二.计算题. ECNU201607 求极限. 解 ECNU201608 计算积分. 解 ECNU201609 计算, 其中为绕轴旋转一周形成的曲面,方向取下侧. 解 令曲面为,取上侧,记为曲面与围成的体积,则 ECNU201610 求级数的和. 解 由于该幂级数在上一致收敛,故交换求和和积分次序,有 进一步有 于是ECNU201611 设为上的二阶连续可导函数, , 满足,试确定所满足的微分方程,并求出的解析式. 解 令,有 故注意到,即,有,代入初值条件,于是有,即,故. 三.证明题. ECNU201612 设函数在上连续, , ,使得,证明: ,使得. 证明 任取,则存在,使得,依次进行下去,得到一个数列,使得 因此有,即数列为无穷小量,对数列使用凝聚定理,存在收敛子列,设极限为,由于在连续,有,这是因为是的子列. ECNU201613 设函数在上有定义,当存在,又在上存在且一致连续，试证明: . 证明 反证如下: ,以及严格单调递增的数列,使得,且,由于在上一致连续,于是,对任意的,有,于是在上,都有,由连续函数的局部保号性得到 这与存在矛盾,命题得证. ECNU201614 设函数在上二阶可导,且,证明: 证明 由于,于是,有于是得到 注意到于是,故,即 ECNU201615 设函数在上连续, ,证明: 证明 注意到 同时有 ECNU201616 设函数在上连续,试证明: 证明 由于在上连续,于是, ,使得对任意的,我们有,于是 其中,当时,有,进而 于是 ECNU201617 设是单减的正数列,证明:函数项级数在上一致收敛的充要条件是. 证明 先证明必要性,设 在 上一致收敛,则 , 当 时, 有,今取,则,即 . 再取 , 有,当 时, , 所以,于是 即. 再证明充分性,设. 令则 单调减少趋于 0. 对于 , 记下面证明 再由 及函数项级数一致收敛的 Cauchy 准则知, 在 上一致收敛. 事实上,因为 为周期 的奇函数,所以只需证明上述不等式在 上成立 就行了.分类讨论如下: (i) 由 及 单调减少可得 (ii) .由于得到 根据 Abel 引理,有 (iii) . 此时, , 记 于是, 由 得出 ,故由(i)得,因为 , 且 , 由 (ii) 与 单调减少即得,于是 |
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