【原】10.2：正项级数

1

设p>0，用泰勒公式估计通项趋于0的阶以判断下列级数的收敛性

我恨死泰勒展开了！

1. 
   

注意到原式可化简为

然后进行泰勒展开，展开到二阶导可得 等价于,故当时发散，当时收敛 \item注意到而所以原式等价为所以是收敛的

2. 
   

所以有当时发散，当时收敛

3. 
   

所以有当时发散，当时收敛

4 三角的题我是一点都不想写的 ，给我die

5

所以当时发散，当时收敛  6.

故：当极限不为0，发散，反之收敛 \item

故：极限不为0，发散，反之收敛

7. 
   

注意到的泰勒展开，所以当时发散，当时收敛

8. 
   

所以当时发散，当时收敛

9. 
   

所以收敛，反之发散

2

运用达朗贝尔检比或柯西检根法判断下列级数的敛散性

这里只给出偶数题的解答(因为题目比较简单)

下列解答中记

(2):所以发散，收敛，单独验证发散

(4)：,收敛

(6):,发散

(8):时极限不为0，发散，时显然收敛

(10):收敛

(12):

3

运用高斯检比法判断下列级数的敛散性

下述中记：

(1):,与高斯检比法形式相比，故收敛

(3):故收敛，$0

(7):故：收敛，发散

(9):所以收敛，发散

4

设是一个单调递增的有界正数列,证明：

(1)级数(1-)收敛

(2)对任意的,，级数收敛

(1):,记极限为M，,,所以,易知后面这个技术是收敛的，根据比较判别法可知同样收敛

(2):注意到总是有界的，所以模仿上一题可证

5

(1)任意取定0<<1，然后递推地定义.证明：级数当>1时收敛，当时发散

(2)任意取定0<<，然后递推地定义.证明：级数当>2时收敛，当2时发散

(1):易知，所以数列单调有下界，极限为0，下证

得证，故级数的敛散性等同的敛散性

(2):同样数列单调递减有下界，极限为0，下证极限存在

注意到，所以上述极限为,故等价于的敛散性

6

(1)设是定义在[1,+)上恒取正值的单调递减函数，证明：如果级数收敛，则其余项有以下估计：

(2)设>1，则级数的余项有以下估计

(3)设>0，则级数的余项有以下估计： 

1.注意到函数单调递减，所以有

同理有

证毕

2. 
   

注意到此问就是上一题结论的利用，直接将带入，即得答案

3. 
   

注意到此题仍是第一问的直接利用，只不过用到了相应的泰勒展开\

然后带入积分即得答案

7

设是定义在[1,+)上恒取正值的单调递减函数，且，证明：当<1 是级数收敛，当>1时该级数发散

注意到函数单调递减故可以通过积分判别法来判断敛散性

当时， 我们知道当充分大时，有,故：

进行换元，令,得：

取定这样的一组数列,故有：

故有：

所以发散当时， 我们知道当充分大时，有,故：

故：

是收敛的（等比级数）

8

设.证明：级数和有相同的敛散性

注意到这是符合stolz公式的，所以可以直接用裴礼文上给出了另一个证明，此处不给出

任务没完成，不厚脸皮的求赞了