垂足三角形的相关知识

值得一读......

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本篇文章主要研究垂足三角形周长及相关公式。

① 如下图所示，A₁，H₃，H₁，A₃四点共圆，所以∠A₂H₁H₃=∠A₁=α₁。所以△A₁A₂A₃与△H₁A₂H₃逆相似，相似比为

A₂A₁ : A₂H₁ = 1 ∶ cosα₂

从而

A₃A₁ ∶ H₃H₁ = A₂A₁ : A₂H₁ = 1 ∶ cosα₂

所以H₃H₁ = A₃A₁cosα₂ = a₂cosα₂。下标轮换，最终得垂足三角形周长为

a₁cosα₁ + a₂cosα₂ + a₃cosα₃ ······ (1)

② 过点H₁分别作A₁A₂和A₁A₃的垂线，设垂足分别为B和C。如下图所示。那么，BC的长度等于垂足三角形H₁H₂H₃的周长的一半。

证明不难。如下图所示，把点H₁及H₁B和H₁H₃沿A₁A₂反射到点D及DB和DH₃。沿A₁A₃的反射类似。因为H₃A₃是∠H₁H₃H₂的平分线（一个三角形的垂心是垂足三角形的内心或旁心），所以，D，H₃，H₂和E四点共线，从而得到三角形DH₁E。它的边DE的长度正是垂足三角形的周长，而这个三角形的中位线就是BC。命题得证。

③ 垂足三角形的周长=2Δ/R 。

证明不难。找到外心O。则O到A₂A₃的距离OO₁等于HA₁的一半（以前文章中证明过，可记住）。而HA₁=2Rcosα₁。我们来计算三角形A₁A₂A₃的面积Δ。

    Δ=(a₁·OO₁+a₂·OO₂+a₃·OO₃)/2

      =(a₁·HA₁/2+a₂·HA₂/2+a₃·HA₃/2)/2

      =(a₁·Rcosα₁+a₂·Rcosα₂+a₃·Rcosα₃)/2

      =(a₁cosα₁+a₂cosα₂+a₃cosα₃)·R/2

而上式括号中正是①中已求得的垂足三角形周长。所以，

周长=a₁cosα₁+a₂cosα₂+a₃cosα₃

=2Δ/R  ······  (2)             

④ 一个三角形的面积的最直接的计算公式就是周长乘以内切圆半径，再除以2。下面就来求垂足三角形的面积。先求垂足三角形内切圆半径ρ。如下图所示。

ρ=HH₁cosα₁

而以前求出过HH₁：

HH₁=2Rcosα₂cosα₃

从而

ρ=2Rcosα₁cosα₂cosα₃

H₁H₂H₃的面积=[ρ·(2Δ/R)/2]=ρΔ/R······(3)

即一个三角形的垂足三角形的面积与这个三角形的面积的比值，等于这个三角形的垂足三角形内切圆半径与这个三角形外接圆半径的比值。

⑤ 如上图所示，三个顶点到垂心的平方和，加上三边长度的平方和，等于外接圆半径平方的12倍。即

证明不难，因为如下图所示，在三角形A₂EA₃中，(EA₃)² + a₁² = (2R)²，即

轮换下标，再相加，即得证。