【数列构造】三项递推＆特征方程法

    

前文我们对适用不动点法的两类二项递推式进行了深入探讨，那么对于常考的线性三项递推式  我们又该如何构造呢？

很多同学可能会觉得今天的主角是特征方程法，不好意思，今天的主角是前文被我嘲讽过的待定系数法。方法很基础但不代表不重要，就像双手不如工具便捷，但可以创造工具。

特征方程法更像是对待定系数法过程的精简，是基于对线性三项递推式与一元二次方程间共同特征的把握。请试着体会数学中的这种“合理联想+严密验证”的创造性思维，如欧拉公式与三角函数、杨辉三角形与二项式定理……

未来还可以看看怀尔斯对费马大定理的证明。

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待定系数法＆韦达定理

 1   思维搭桥

对于  不难设出：

  还原得：

  对照可知：

这里我们联想到一元二次方程的韦达定理：

类比线性三项递推数列和同参一元二次方程（特征方程）可知：数列的构造参数  即特征方程的实根  所以  可由此求得。

若特征方程无实根，则无法构造，考虑周期数列。

 2   含参推导

根据构型  知：

  为公比为  的等比数列：

  

两边同除以  得：

  

此步除数不能为0,  取非零实根：若  同时取0，则原递推式为  为常数列，无须求；若  有且仅有一0，则原递推式为二项递推，参考前文。

此时问题转化为了线性二项递推，可再次使用待定系数法，但含参运算为避免引入新参数和复杂运算，这里用不动点法构造：

  

很多同学对复杂形式有一种莫名恐惧，其实对于具体问题，常数即时算出并不复杂。含参运算能展现结果中的参数作用，用以得出一般结论。

这里若  则此步无意义，须回到上步把此情况单列出来分类讨论：

若  有：

  

易得  为等差数列：

  

若  

对  两边同减  

整理得：

  

易得  为等比数列：

  

综上，可得通项公式：

  

 3   总结优化

回顾上面证明过程，要用两次待定系数法构造等差或等比数列：第一次通过特征方程求参转化为二项递推，同除指数变形后第二次可换用不动点法间接求得通项。

从特征方程的实根出发，最终到通项结束。虽过程冗长计算复杂，但两实根贯穿始终：

那么，我们不妨对该过程进行精简：

1. 求根

        解  的特征方程

  

        若无实根，考虑周期数列的可能

2. 设型

        若  设  

        若  设  

3. 求参

        将  带入通项，解方程组；

        求得参数  回代通项即得。

这便是所谓的“特征方程法”，在大学里线性代数的学习中还会再见。它的优势在于速度，对于小题可直接用，对于大题如同先射箭再画靶，基于对待定系数法构造过程的熟练来补充必要步骤。

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特征方程法试练

 1   异根

例：若数列  满足  其中  求通项。

分析：

1. 求根

        解  的特征方程

  

2. 设型

        设  

3. 求参

        将  带入通项，解方程组：

          

        回代通项即得：  

解：

        由  得：

          

        同学们亦可尝试用另一根构造：

          

        显然  为等比数列

          

        由上得：

          

        显然  为等比数列

          

        故  

 2   同根

例：若数列  满足  其中  求通项。

分析：

1. 求根

        解  的特征方程

  

2. 设型

        设  

3. 求参

        将  带入通项，解方程组：

          

        回代通项即得：  

幂指函数类型，如有第二问当求前n项和，考察错位相减法。

解：

         由  得：

          

        显然  为等比数列

          

        两边同除以  得：

          

        显然  为等差数列

          

        故  

 3   无实根

例：若数列  满足  其中  求  

分析：

        解  的特征方程

          

        无法构造，考虑周期函数的可能：

          

        最小周期  

          

        故  

解：

        由  得：

          

        两式累加得:  

        故  

        最小正周期  

        由题易得：

          

        故  

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各位文章的读者朋友们，可能会发现我很注重答案的逻辑与书写规范，因为这样能某种程度上避免所谓的“粗心”，方便检查修改，同时也体现了对简洁美观的追求。

第一次构造用特征方程法，第二次构造用不动点法，这都是实战时稿纸上的内容。答案中保留维持逻辑的必要步骤（采分点）即可。对于数学，光看答案是学不到什么东西的。

稿纸是用来干什么的，答题纸上又该怎么写？请细细体会思维方法的应用和答案的规范组织。