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世界不仅仅是真善美的，也有假恶丑。数学也不仅仅是优雅从容和自然的，同样也有各种各样深井冰一样的存在。这期我们的主题是病态函数。啊，有一套丛书基本是各类深井冰的集中地，看完后能够达到三观尽毁，我到底学了个什么玩意的效果，您感兴趣可以参考。 世界上第一个深井冰的函数是由魏尔斯特拉斯提出的，在他生活的那个年代，大多数的数学家，对函数连续性的看法都不是很深刻。直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，不可导的点也必然只占整体的一小部分。伟大如高斯王子（数学人物志——王子高斯）都曾经假定连续函数不可导的部分是有限的或是可数的。
但是魏尔斯特拉斯这个人虎啊，他可不信这一套，硬生生地给他干出一个处处连续但处处不可导的函数。啪啪地把大家的脸都打肿了，他确实给构造出来了，论证也严谨有力，所以说打脸就打脸吧，也不是啥大事。他当时给出的构造如下：
这里函数的连续性是很容易证明的，我简略地说明一下。
函数处处不可导的证明，思路上是很容易的，但是涉及具体计算，确是相当复杂的，这也是魏尔斯特拉斯厉害的地方，超强的计算能力。思路就是：
看到这短短两行的思路，你可能有一种你上你也行的错觉，恩，很遗憾的告诉你，原始的计算是相当复杂，即使后面经过人简化，也不是那么容易掌握的。这是分析中脏的一面。我们截一下部分证明感受一下计算就行了。
那么这个深井冰一样的函数到底长什么样子，我们也来看一下。
魏尔施特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管当时那个年代还没有提出分形。从上面那个图中我们可以看到将函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。
有了魏尔斯特拉斯的构造，大家好像就明悟了，人们逐渐意识到这样病态函数其实是广泛存在的，后来随着拓扑和测度的发展，人们得到下面两条结果：
如果用大家能够听的懂的语言来说的话，就是事实上呢，这些神井冰一样的函数，要比那些规则的函数多的多，多到那些规则的函数几乎可以忽略不计，啊！这就好像告诉你这世界上其实大多数人都是神经病，正常的人才是异类，很有趣的一个结果。所以请大家记住这个“疯子”。
当年他在皇家科学院关于这个处处连续不可导函数的演讲可谓是指点江山，意气风发。我特意找了一段翻译版，与大家一同欣赏。
我只能说牛，字里行间里虽透着谦逊，可身上却自有一股霸气，搞得我不得不羡慕一下下。
他的工作还有很多，不过主要集中在分析领域，也正因为如此大家把他称为“现代分析学之父。”在我的认知中，凡是能够叫爸爸的，都是很牛的。而且他的这个例子，也成为分形理论发展的源头，这可能他本人也没有预想到吧。
好了，今天这期我们就到这里，下期再见。 |
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