《算术基础》无穷数

§84．与有穷数相对的是无穷数。属于“有穷数”这个概念的那个数是一个无穷数。譬如，让我们用∞₁来表示它。如果它是一个有穷数，在自然数序列中它就不能跟着自己。但是我们可能表明，∞₁跟着自己。

在以这种方式解释的无穷数∞₁中，不存在任何神秘或奇异的东西。“属于F这个概念的这个数是∞₁”不多不少恰恰是说：有一种关系，它使处于F这个概念之下的对象与有穷数相互一一对应。根据我们的解释，这是一种完全清楚的和没有歧义的意义；而且这足以证明使用∞₁这个符号的合理性并且保证它有一个意谓。我们无法形成一个关于无穷数的表象，这是完全不重要的，对于有穷数同样是这样。因此∞₁这个数有某种与任何一个有穷数同样确定的东西：毫无疑问可以把它作为相同的东西予以重认，并且可以把它与其它东西区别开来。

§85．不久以前，康托尔在一篇出色的论文^[19]中引入了无穷数。我完全同意他对只能把有穷数看作是现实的这种观点的评价。有穷数不是感官可感觉的和空间的，分数、负数、无理数和复数也不是；而且，如果人们把对感官起作用的东西或者至少对感官知觉有影响从而产生或远或近结果的东西叫作现实的，那么这些数当然都不是现实的。但是，我们甚至根本不需要这些感觉作为我们定理的证明根据。我们在研究中可以大胆地使用逻辑上没有任何异议地引入的名称或符号，因而我们的∞₁这个数就像二或三一样是合理的。

我在这里（正像我相信的那样）与康托尔是一致的，但是我使用术语与他有所不同。他把我的数叫做“幂”（Mächtigkeit），而他关于数的概念^[20]却涉及对应。对于有穷数来说，当然有一种不依赖于序列的性质，而对于无穷大的数来说就不是如此。现在，“数”这个词和“多少？”这个问题的语言用法不包含对确定对应的提示。康托尔的数其实是回答这样一个问题：“在一个顺序中第多少个项是最后一个项？”因此我觉得我的术语更符合语言用法。如果人们扩展一个语词的意谓，人们就必须要注意，尽可能多的普遍句子获得其有效性，而且有时是非常基础性的作用，就像数的那种独立于序列的性质一样。我们根本不必进行任何扩展，因为我们关于数概念也直接包括无穷数。

§86．康托尔为了得到无穷数，引入了“一个顺序中的后继”这个关系概念，这个概念与我的“一个序列中的后继”这个概念不同。例如，根据他的观点，如果把有穷的正整数进行排列，使得奇数在其自然数序列中一个跟着另一个，而且偶数也是一个跟着另一个，并且还要规定，每一个偶数要跟着每个奇数，那么就会形成一个顺序。在这个顺序中，例如，0会跟在13后面。但是任何数都不会直接出现在0前面。这正是一种在我定义的序列的后继中不能出现的情况。人们可以不利用直觉公理而严格证明，如果y在φ序列中跟着x，那么就存在一个对象，它在这个序列中直接出现在y前面。我觉得现在依然缺少对顺序中的后继和康托尔的数的精确定义。这样康托尔求助某种神秘的“内在直觉”，而这里本来应该努力并且也许可以从定义出发进行证明。因为我相信可以预见那些概念是如何能够得到确定的。无论如何，我并不想通过这些评述对它们的合理性和富有成果性提出任何批评。相反，我赞同在这种研究中对于科学的扩展，尤其是因为通过这种扩展，开辟了一条通往更高的无穷大数（幂）的纯算术的道路。（G.弗雷格）

【注释】

[1]这是在某种形象的东西的意义上的表象。

[2]这里的问题主要在于定义一个像
df（x）＝g（x）dx
这样的方程式的意义，而不在于指明一个由两个不同点界定的长度为dx的线段。

[3]这个词的理解纯粹是心理学的，而不是生理学的。

[4]鲍曼，同上书，第2卷，第565页。

[5]参见施罗德，同上书，第7、8页。科萨克：《算术基础》（Die Elemente derArithmetik，Programm des Friedrichs-Werder’schen Gymnasiums，Berlin，1872，S.16）。康托尔：《一种普遍多样性学说的基础》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre，Leipzig，1883，S.3）。

[6]为了使我的表达能够更方便，更容易得到理解，我在这里谈论平行。这一讨论中至关重要的东西将可以很容易地回到数相等的情况。

[7]Nou inelegans specimen demonstrandi in abstractis（Erdm.S.94）。

[8]例如，在一个假言判断中，方向的相等可以作为条件或结果出现。

[9]定冠词表明这一点。在我看来，概念是一个单称可判断内容的可能的谓词，对象是这种内容的可能的主词。如果我们把
“望远镜轴的方向与地轴的方向相等”
这个句子中望远镜轴的方向看作主词，那么谓词就是“与地轴的方向相等”。这是一个概念。但是地轴的方向只是这个谓词的一部分；它是一个对象，因为它也可以成为主词。

[10]我相信，可以简单地用“概念”来表示“概念的外延”。但是人们会提出两点反对意见：
1．这与我前面的断定——个别的数是对象——相矛盾，因为像“二这个数”这样的表达式中有定冠词；不可能以复数的形式谈论一、二等等，还有数只构成给出数时谓词的一部分。
2．概念可以有相同的外延，而不重合。
尽管我现在认为，可以提出这两种反对意见，但是这可能引导我们远离主题，我假定，人们知道一个概念的外延是什么。

[11]这里不应该与下面的情况相混淆，即“和”只是表面上联结主词，实际上却联结两个句子。

[12]反过来也是如此：如果属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数相同，那么F这个概念与G这个概念就是等数的。

[13]由一个概念对处于其下的对象进行定义，则与上述情况完全不同。例如，“这个最大的真分数”这个表达没有内容，因为定冠词要求指向一个确定的对象。而“小于1并且任何小于1的分数在数量上都不超过它的分数”这个概念却是毫无问题的，而且为了能够证明没有这样的分数，人们甚至需要这个概念，尽管它含有一个矛盾。但是如果人们想通过这个概念确定一个处于它之下的对象，那么无论如何都必须先说明两点：
1．一个对象处于这个概念之下；
2．只有一个唯一的对象处于这个概念之下。
由于这其中的第一个句子已经是假的，因而“这个最大的真分数”这个概念是无意义的。

[14]见第93页的注释。

[15]没有普遍性的句子。

[16]参见埃德曼：《几何学公理》（Die Axiome der Geometrie，S.164）。

[17]如果n不是数，那么只有n本身隶属以n结束的自然数序列。但愿人们不会对这种表达不满。

[18]施罗德（同上书，第63页）似乎把这个句子看作是另一种可想象的标记方式的结果。这里人们也可以注意到那种影响到他对该问题的整个描述的弊病，即人们不大知道，数是不是一个符号，而且如果它是一个符号，那么什么是这个符号的意谓，或者这个数是否正是这个符号的意谓。人们规定不同的符号，因而同一个符号绝不反复出现。由此尚得不出，这些符号也意谓不同的东西。

[19]《一种普遍多样性学说的基础》（Grundlagen einerallgemeinen Mannichfaltigkaitslehre，Leipzig，1883）。

[20]看上去，这个表达可能与前面提出的概念的客观性相矛盾；但是在这里只有称谓是主观的。