陈晓阳：从新高考二卷压轴题联想到函数极值相关定理·高等数学|晓阳韶归来

这是新课标二卷的压轴题，第一问是关于不等式的证明，通常作差构造函数利用导数求单调性，再求最值就证明出来了，构造第二个式子时候，一次导数单调性判断，还得根据二阶导数来判断，逐层向上求最值，也不复杂。第二问告诉你x=0是极大值点，意思就是一次导数等于0，但是在x=0处一次导数是左边大于0，右边小于0，其实极大值的二阶导数小于0，知道这个结论就很容易做出来。

那么为什么一阶导数等于0，二阶导数小于0，就是极大值点呢？这里简要分析下，需要从极限的角度去思考，高中谈极限的地方就是从导数的定义来入手的，但并不要求学生会求极限。

教材上关于导数极限的地方：

这里简单说下为什么x=0处二阶导数小于0就是极值点，前提是x=0处一阶导数为0，选取x=0附近的领域，也就是左右两边的范围，这个范围非常非常的小，通常选（-δ，δ），根据极大值的一阶导数特点，一阶导数左正右负，也就是原来函数左边是单调增加，右边单调减少。利用这个去推导x=0处左右两边的极限，就发现了都小于0，这样就知道二阶导数小于0这个规律了。

二阶导数在高等数学教材里有相关的叙述，这里截取一些内容：