§2.2 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减．
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．( × ) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( × ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( × ) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A．y＝x2－1 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝－x＋2 答案 D 2．y＝在[3,4]上的最大值为( ) A．2 B. C. D．4 答案 A 解析 y＝＝＝＋1， ∵y＝＋1在[3,4]上单调递减， ∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2. 3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________． 答案 解析 ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<，即x<， 则x的取值范围为.
题型一 确定函数的单调性 命题点1 函数单调性的判断 例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝ 答案 AC 解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于选项C，y′＝2－2sinx≥0， ∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 命题点2 利用定义证明函数的单调性 例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 方法一 设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 方法二 f′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( ) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案 B 解析 g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为.
(2)函数f(x)＝ A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f(x)＝ u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 题型二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝ A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b 答案 B 解析 ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)， 均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， ∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f(x)是偶函数， ∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增， 又f(x)＝ ∴ 又0<ln <1， ∴ ∴ 即a<c<b. 命题点2 求函数的最值 例4 函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________． 答案 解析 y＝＝x－在[1,3]上单调递增， y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减， ∴f(x)在[1,3]上单调递增， ∴f(x)max＝f(3)＝－0＝. 命题点3 解函数不等式 例5 已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析 由f(x)＝x－log2(x＋2)知， f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且f(－1)＝3， 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)， ∴ 解得0<a<1. 命题点4 求参数的取值范围 例6 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C．(0,1) D．(0,1] 答案 B 解析 因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围为. 思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练2 (1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)在R上单调递增， 因为f(4)＝2， 所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)， 故2x－1<4，即x<. (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案 [1,2) 解析 f(x)＝＝＝1＋， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2. 课时精练
1．下列函数在R上为增函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ 答案 B 解析 y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误； y＝x在R上为增函数，故选项B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误． 2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 答案 B 解析 ∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)． 3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为( ) A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案 C 解析 f(x)＝＝2＋， ∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1， ∴f(x)∈(2,3]． 4．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有( ) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案 A 解析 因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数， 所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0. 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0， 所以f(x)在R上单调递增． 又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)． 5．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( ) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] 答案 BC 解析 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确； 若f(x)在(a，a＋1)上单调递增， 则a≥0或a＋1≤0， 即a≤－1或a≥0，故C正确； 当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]， 当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误． 6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( ) A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R 答案 BCD 解析 当a>0时，f(x)＝x－， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误； 又当x→－∞时，f(x)→－∞， 当x→0－时，f(x)→＋∞， ∴f(x)的值域为R，故D正确； 当a＝－4时，f(x)＝x＋， 由其图象(图略)可知，B，C正确． 7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 答案 (－∞，－3]，[0,3] 解析 由题意得函数f(x)＝ 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]． 8．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________． 答案 f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解析 由题意知， f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)， 则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题． 9．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解 (1)f(x)＝x|x－4| ＝ 函数图象如图所示．
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)． 10．已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论． 解 (1)f(0)＝a－＝a－1. (2)f(x)在R上单调递增．证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2， ∴ ∴ ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在R上单调递增．
11．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案 D 解析 在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，因此解得a≥2， 所以实数a的取值范围为[2，＋∞)． 12．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________． 答案 (0，＋∞) (0,1)∪(1,2) 解析 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.
13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 答案 A 解析 不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则( ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 答案 D 解析 ∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5<lg 10＝1，c＝log126<log1212＝1， ∴a>b，a>c， ∵lg 5＝＝，log126＝＝， ∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)， 显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵0<log25<log26， ∴f(log25)<f(log26)，即lg 5<log126， ∴a>c>b. |
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