§4.4 简单的三角恒等变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ ) (2)存在实数α，使tan 2α＝2tanα.( √ ) (3)cos2＝.( √ ) (4)tan ＝＝.( √ )
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 方法一 (公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝. 方法二 (代值法)因为cos ＝，cos ＝， 所以cos2－cos2＝2－2＝. 2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( ) A．－ B. C．－ D. 答案 D 解析 由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝＝. 3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于( ) A．－ B．－ C. D. 答案 A 解析 因为α为第二象限角，sin α＝， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
题型一 三角函数式的化简 例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 方法一 因为tan 2α＝＝， 且tan 2α＝， 所以＝，解得sin α＝. 因为α∈， 所以cos α＝，tanα＝＝. 方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝. 因为α∈， 所以cos α＝，tanα＝＝. (2)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________. 答案 解析 因为sin α＋cosα＝， 两边同时平方得sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝， 即sin 2α＝， 由降幂公式可知sin2＝＝＝－sin 2α＝. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． 跟踪训练1 (1)若f(α)＝2tan α－，则f 的值是________． 答案 6－ 解析 依题意，f(α)＝2tanα－ ＝2tanα＋， 而tan ＝tan＝＝＝2－， 于是得f ＝2(2－)＋＝6－， 所以f 的值是6－. (2)化简：·＝________. 答案 解析 · ＝· ＝· ＝·＝. 题型二 三角函数式的求值 命题点1 给角求值 例2 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°； (2)－； (3). 解 (1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝＝＝. (2)原式＝＝＝＝2. (3)原式＝＝＝＝＝＝－2. 命题点2 给值求值 例3 (2023·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于( ) A. B. C．－ D．－ 答案 D 解析 ∵sin＋cos α＝， ∴sinαcos －cosαsin ＋cos α＝， ∴sin α－cos α＋cos α＝， ∴sin α＋cos α＝， ∴cos＝， ∴sin＝sin ＝cos 2 ＝2cos2－1 ＝2×2－1 ＝－. 命题点3 给值求角 例4 已知sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ . 答案 解析 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝， 因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝， 那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝， cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝， 所以cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝， 因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)． 所以α＋2β∈，故α＋2β＝. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值(角)求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 跟踪训练2 (1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于( ) A. B．－ C．－ 或0 D. 答案 C 解析 ∵sin 2α＝2sinαcos α，cos 2α＝2cos2α－1， ∴2sinαcos α＋2cos2α＝cosα， 当cosα＝0 时，等式成立，此时sin 2α＝0； 当cosα≠0 时，sin α＋cosα＝， 两边平方得sin 2α＝－. 综上可得，sin 2α＝－或0. (2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为( ) A. B．－ C. D．－ 答案 A 解析 ∵sin＝tan 210°， ∴sin＝tan 210°＝tan(180°＋30°)＝tan 30°＝， 则cos2＝1－sin2＝， cos(30°－α)＝cos2－sin2＝， ∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)] ＝cos(30°－α)＝. 题型三 三角恒等变换的综合应用 例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos. (1)求f 的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 解 (1)由题意得 f(x)＝sin＋2sincos ＝sin－2sincos ＝sin－2sincos ＝sin－sin ＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 故f ＝sin＝0. (2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝， ∴f(α)＝sin＝， 又∵sin＝<， ∴2α＋∈， ∴cos＝－＝－， ∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×＋×＝. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． (2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 跟踪训练3 已知3sinα＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 解 (1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 又因为sin 2α＋cos 2α＝＝， 所以sin 2α＋cos 2α＝＝. (2)因为β∈，所以tan β<0， 因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－， 又因为α∈(0，π)，tanα＝－，所以<α<π. 所以tan(α＋β)＝＝＝－1， 由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝. 课时精练
1．已知x∈，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于( ) A. B．－ C. D．－ 答案 D 解析 因为x∈，cos(π－x)＝－， 所以cos x＝，sinx＝－＝－， 由同角三角函数的关系， 得tanx＝＝－. 因此tan 2x＝ ＝＝－. 2．(2023·保定模拟)已知sin＝，则sin 2θ的值为( ) A. B．－ C. D．－ 答案 B 解析 由sin＝， 得sin＝sinθcos －cosθsin ＝(sin θ－cosθ)＝， 即sinθ－cos θ＝， 等式两边同时平方，得1－sin 2θ＝， 所以sin 2θ＝－. 3．(2023·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于( ) A．－ B. C．－ D. 答案 A 解析 cos＝cos ＝－cos＝－cos ＝－ ＝－＝－. 4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 答案 C 解析 因为m＝2sin 18°， 所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°， 因此＝＝＝＝4. 5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( ) A．cos(－15°)＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－ D．2sin 18°cos 36°＝ 答案 BD 解析 对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误； 对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确； 对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，所以C错误； 对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确． 6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于( )
A. B. C. D. 答案 B 解析 由题设，可得cos 72°＝1－2sin236°＝，又因为cos236°＋sin236°＝1， 所以cos236°＝，又cos 36°∈， 所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝. 7．(2023·淄博模拟)＝ . 答案 解析 因为＝＝＝. 8．(2023·青岛模拟)已知tan 2θ＝－2，<θ<，则＝________. 答案 －3＋2 解析 由tan 2θ＝－2，即＝－2，解得tan θ＝或tanθ＝－. 因为<θ<，所以tan θ＝且cosθ≠0. 则＝＝＝＝－3＋2. 9．化简并求值． (1)； (2)·. 解 (1)原式＝＝ ＝＝＝＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝32. 10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan； (2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值． 解 (1)因为tan(α＋β)＝，tan＝， 所以tan＝tan＝＝＝. (2)由<θ<，得<2θ<π，∴sin 2θ＝＝， sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2××＝－， cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝－1＝. (3)由0<β<<α<，得0<2β<，－<－2β<0，则－<α－2β<. 因为sin(α－2β)＝>0，所以cos(α－2β)＝＝＝. 由0<β<<α<，得<2α<π，－<－β<0， 则<2α－β<π， 因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝. 因为<α＋β<， 又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－×＋×＝，所以α＋β＝.
11．已知α∈，β∈，tan α＝，则( ) A．α＋β＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋2β＝ 答案 B 解析 tanα＝＝ ＝＝＝tan. ∵α∈，β∈， ∴α＝＋β，即α－β＝. 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为( ) A．－ B．－8 C．8 D. 答案 A 解析 将π＝4sin 52°代入， 可得＝＝＝－ ＝－＝－＝－. 13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则( ) A．cos α＝ B．sin α＝ C．sin＝ D．sin＝ 答案 AC 解析 ∵sin ＝，α∈(0，π)， ∴∈，cos ＝＝. ∴cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确； sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误； sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝，故C正确； sin＝sin cos －cos sin ＝×－×＝，故D错误． 14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ . 答案 解析 因为sin＝cos＝－， sin＝， 所以α＋为第二象限角，β－为第一象限角， 所以sin＝＝， cos＝＝， 所以sin(α＋β)＝sin ＝sincos＋cos·sin＝. cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π) ＝－cos ＝－ ＝－cos 2－sin 2 ＝－－·sin·cos＝.
15．(2023·武汉模拟)f(x)满足：∀x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为( ) A.<< B.<< C.<< D.<< 答案 C 解析 a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝sin 14°，b＝＝＝sin 16°，c＝cos ＝sin ＝sin 15°，∴a<c<b. 由题意得，∀x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0，即<0， ∴y＝在(0,1)上单调递减，∴<<. 16.(2023·盐城模拟)已知由sin 2x＝2sinxcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x，已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则·＝________.
答案 5＋ 解析 因为cos 54°＝cos(90°－36°)＝sin 36°，所以4cos318°－3cos 18°＝2sin 18°cos 18°， 即4cos218°－3＝2sin 18°，即4(1－sin218°)－3＝2sin 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0， 因为0<sin 18°<1，解得sin 18°＝＝. 在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI， 从而可得∠HEG＝∠CEB＝18°，∠EHG＝∠IHG＝54°， 过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，则∠GHM＝18°，于是cos∠GHM＝，
从而有HM＝GHcos∠GHM＝2cos 18°，于是EH＝＝， 所以·＝||·||cos 54°＝2××sin 36°＝8cos218°＝8－8sin218°＝8－8×2＝8－(3－)＝5＋. |
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