【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5-1　平面向量的概念及线性运算

§5.1　平面向量的概念及线性运算

考试要求　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算	法则(或几何意义)	运算律
加法		交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法		a－b＝a＋(－b)
数乘	|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0	λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

常用结论

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．

3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)．

4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　√　)

(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　×　)

(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)

(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　√　)

教材改编题

1．(多选)下列命题正确的是(　　)

A．零向量是唯一没有方向的向量

B．零向量的长度等于0

C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线

D．若a＝b，b＝c，则a＝c

答案　BCD

解析　A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；

C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确．

2．下列各式化简结果正确的是(　　)

A.＋＝

B.＋＋＋＝

C.＋－＝0

D.－－＝

答案　B

3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.

答案　－

解析　由题意知存在k∈R，

使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，

所以解得

题型一　平面向量的基本概念

例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．单位向量都相等

B．任一向量与它的相反向量不相等

C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关

D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|

答案　CD

解析　对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；

对于B，0的相反向量为0，B错误；

对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；

对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．

(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵，，与方向不同，∴，，与均不相等；

∵与方向相同，长度相等，∴＝.

思维升华　平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

(4)是与a同方向的单位向量．

跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)

A．向量的长度与向量的长度相等

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D．两个终点相同的向量，一定是共线向量

答案　AC

解析　对于A，向量与向量的长度相等，方向相反，故A正确；

对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；

对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；

对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误．

(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等．

题型二　平面向量的线性运算

命题点1　向量加、减法的几何意义

例2　(2022·济南模拟)已知单位向量e₁，e₂，…，e_{2 023}，则|e₁＋e₂＋…＋e_{2 023}|的最大值是________，最小值是________．

答案　2 023　0

解析　当单位向量e₁，e₂，…，e_{2 023}方向相同时，

|e₁＋e₂＋…＋e_{2 023}|取得最大值，

|e₁＋e₂＋…＋e_{2 023}|＝|e₁|＋|e₂|＋…＋|e_{2 023}|

＝2 023；

当单位向量e₁，e₂，…，e_{2 023}首尾相连时，

e₁＋e₂＋…＋e_{2 023}＝0，

所以|e₁＋e₂＋…＋e_{2 023}|的最小值为0.

命题点2　向量的线性运算

例3　(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　)

A．3m－2n                                        B．－2m＋3n

C．3m＋2n                                        D．2m＋3n

答案　B

解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.

命题点3　根据向量线性运算求参数

例4　(2023·大连模拟)在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案　B

解析　如图所示，由题意知，

＝，＝，

设＝x，

所以＝＋＝＋x

＝＋x(－)

＝x＋(1－x)

＝x＋(1－x)，

所以μ＝x，λ＝(1－x)，

所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.

思维升华　平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

跟踪训练2　(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　)

A.＋＝0                                     B.∥

C.＋＝2                               D.＝＋

答案　D

解析　A项，由图可知CH与ID相交，所以与不是相反向量，故A错误；

B项，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误；

C项，＋＝≠2，故C错误；

D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，

根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确．

(2)P是△ABC所在平面上一点，满足＋＋＝2，△ABC的面积是S₁，△PAB的面积是S₂，则(　　)

A．S₁＝4S₂                                        B．S₁＝3S₂

C．S₁＝2S₂                                         D．S₁＝S₂

答案　B

解析　∵＋＋＝2＝2(＋)，

∴3＝，

∴∥并且方向一样，

设AP与BC的距离为h，

∵S_△PAB＝||·h，S_△ABC＝||·h，

又∵||＝3||，

∴S_△PAB＝S_△ABC，S₁＝3S₂.

(3)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则2λ＋μ＝________.

答案　

解析　在△ABC中，＝2，

则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

又＝λ＋μ，且，不共线，

则λ＝，μ＝，所以2λ＋μ＝.

题型三　共线定理及其应用

例5　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

证明　(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)，＝[m＋(1－m)]，

故m＋(1－m)＝m＋(1－m)，

即m(－)＝(1－m)(－)，

m＝(1－m)，即，共线，

又，有公共点P，

则A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，

变形得－＝λ(－)，即(1＋λ)＝λ＋，＝＝＋，又＝m＋n，＋＝1，故m＋n＝1.

思维升华　利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．

(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(3)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

跟踪训练3　(1)若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　　)

A．－1  B．1  C.  D．2

答案　B

解析　由题意知，

＝－＝a－(k＋1)b，

因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，

使得＝λ，

即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，

整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，

因为向量a，b不共线，∴

解得λ＝1，k＝1.

(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，＝λ，则λ等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以＝＋，则＝λ＝＋，

又＝，于是得＝＋，

因为点C，D，N共线，则有＋＝1，解得λ＝.

课时精练

1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为(　　)

A．a＋4b                                         B．－a－9b

C．2a＋b                                         D．a－3b

答案　B

解析　2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.

2．(多选)下列命题中，正确的是(　　)

A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．在△ABC中，＋＋＝0

C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反

D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同

答案　BC

解析　对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；

对于B选项，首尾顺次相接，正确；

对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；

对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误．

3．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当a＝－b时，|a＋b|＝＝|b|＝|a|，推不出|b|＝0；

当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，

故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件．

4．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m等于(　　)

A．3  B．2  C．1  D．－2

答案　A

解析　因为A，B，D三点共线，

所以存在实数λ，使得＝λ，

＝＋＝2a＋6b，

所以2a＋6b＝λa＋mλb，

所以解得m＝3.

5．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　因为四边形ABCD是边长为1的正方形，

＝a，＝b，＝c，

所以a－b＋c＝－＋＝－＋(＋)＝2，

又||＝1，所以|a－b＋c|＝|2|＝2.

6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．1                                                B．2

C．3                                                D．4

答案　D

解析　∵＝＋＝4＝4×(＋)＝2＋2，

∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.

7．已知向量e₁，e₂是两个不共线的向量，a＝2e₁－e₂与b＝e₁＋λe₂共线，则λ等于(　　)

A．2  B．－2  C．－  D.

答案　C

解析　因为a＝2e₁－e₂与b＝e₁＋λe₂共线，所以ka＝b，k≠0，

所以k(2e₁－e₂)＝e₁＋λe₂.

因为向量e₁，e₂是两个不共线的向量，

所以解得λ＝－.

8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，若OC与线段AB交于点P，且满足＝λ＋μ，||＝，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

答案　D

解析　∵线段OC与线段AB交于点P，设＝x (x≥1)，

则x＝λ＋μ，即＝＋，

又∵P，A，B三点共线，则＋＝1，即λ＋μ＝x，

∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时||最小，此时x最大，

又∠AOB＝，故此时||＝，又因为||＝，

∴＝2，

即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.

9．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．

答案　

解析　∵向量ta＋b与a＋3b平行，

∴存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)，

化为(t－k)a＋(1－3k)b＝0，

∵向量a，b不平行，

∴解得t＝k＝.

10．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.

答案　3

解析　如图，设F为BC的中点，

则＝＝(＋)，

又＝，＝，

∴＝＋，

又G，D，E三点共线，

∴＋＝1，即＋＝3.

11．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，

所以＝＋＝，

所以||＝||，即＝.

12．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)

A．||＝||＝||

B.＋＋＝0

C.＝＋

D．S_△MBC＝S_△ABC

答案　D

解析　如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B错误；

＝＋＝＋

＝＋(－)＝＋，C错误；

由DM＝AD得S_△MBC＝S_△ABC，D正确．

13．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　如图，设＝，＝，

∴＝＋＝＋，

由平行四边形法则知NP∥AB，

∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为，

同理，由＝＋，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为，

∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为∶＝.

14．(2023·丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足||＝||，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为________．

答案　4＋2

解析　由题意知点D满足＝，故＝x＋y＝x＋3y，由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则＋＝·(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．

15．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)

A．若＝，则＝＋

B．若＝2－3，则点M，B，C三点共线

C．若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0

D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

答案　ACD

解析　A选项，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A正确；

B选项，假设点M，B，C三点共线，则＝λ，即－＝λ(－)，整理得＝－λ＋(1＋λ)·，故当λ＝－2时，即＝2－，与条件中的＝2－3不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；

如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，则＋＝2，则＋＋＝0，C正确；

D选项，由于＝x＋y，而x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．

16．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得＝＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线．

答案　

解析　连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝a，

则＝＋＝＋，

又＝＝r(r>0)，则＝，＝，

故＝＋，即＝＋，

若B，M，N三点共线，由共线定理知＋＝1，解得r＝或－(舍)．