【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6-4　数列中的构造问题[培优课]

§6.4　数列中的构造问题

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．

题型一　形如a_n＋1＝pa_n＋f(n)型

命题点1　a_n＋1＝pa_n＋q(p≠0,1，q≠0)

例1　(1)数列{a_n}满足a_n＝4a_n－1＋3(n≥2)且a₁＝0，则a_{2 024}等于(　　)

A．2^{2 023}－1                                     B．4^{2 023}－1

C．2^{2 023}＋1                                     D．4^{2 023}＋1

答案　B

解析　∵a_n＝4a_n－1＋3(n≥2)，

∴a_n＋1＝4(a_n－1＋1)(n≥2)，

∴{a_n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，

则a_n＋1＝4^n－1.

∴a_n＝4^n－1－1，

∴a_{2 024}＝4^{2 023}－1.

(2)已知数列{a_n}的首项a₁＝1，且＝＋2，则数列{a_n}的通项公式为__________．

答案　a_n＝

解析　∵＝＋2，等式两边同时加1整理得＋1＝3，

又∵a₁＝1，∴＋1＝2，

∴是首项为2，公比为3的等比数列．

∴＋1＝2·3^n－1，∴a_n＝.

命题点2　a_n＋1＝pa_n＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)

例2　已知数列{a_n}满足a_n＋1＝2a_n－n＋1(n∈N^*)，a₁＝3，求数列{a_n}的通项公式．

解　∵a_n＋1＝2a_n－n＋1，

∴a_n＋1－(n＋1)＝2(a_n－n)，

∴＝2，

∴数列{a_n－n}是以a₁－1＝2为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n－n＝2·2^n－1＝2ⁿ，

∴a_n＝2ⁿ＋n.

命题点3　a_n＋1＝pa_n＋qⁿ(p≠0,1，q≠0,1)

例3　(1)已知数列{a_n}中，a₁＝3，a_n＋1＝3a_n＋2·3^n＋1，n∈N^*.则数列{a_n}的通项公式为(　　)

A．a_n＝(2n＋1)·3ⁿ                           B．a_n＝(n－1)·2ⁿ

C．a_n＝(2n－1)·3ⁿ                            D．a_n＝(n＋1)·2ⁿ

答案　C

解析　由a_n＋1＝3a_n＋2·3^n＋1得＝＋，

∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，

∴＝2n－1，故a_n＝(2n－1)·3ⁿ.

(2)在数列{a_n}中，a₁＝1，且满足a_n＋1＝6a_n＋3ⁿ，则a_n＝________.

答案　－3^n－1

解析　将已知a_n＋1＝6a_n＋3ⁿ的两边同乘，得＝2·＋，

令b_n＝，则b_n＋1＝2b_n＋，利用命题点1的方法知b_n＝－，则a_n＝－3^n－1.

思维升华

形式	构造方法
an＋1＝pan＋q	引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c	引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn	两边同除以qn＋1，构造新的数列

跟踪训练1　(1)在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ.则数列{a_n}的通项公式a_n等于(　　)

A．n·2^n－1                                        B．n·2ⁿ

C．(n－1)·2ⁿ                                    D．(n＋1)·2ⁿ

答案　A

解析　由a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ得＝＋1，设b_n＝，则b_n＋1＝b_n＋1，

又b₁＝1，∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．

∴b_n＝n，

∴a_n＝n·2^n－1.

(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a_n}满足a₁＝1，(2＋a_n)·(1－a_n＋1)＝2，设的前n项和为S_n，则a_{2 023}(S_{2 023}＋2 023)的值为(　　)

A．2^{2 023}－2                                     B．2^{2 023}－1

C．2                                                D．1

答案　C

解析　(2＋a_n)(1－a_n＋1)＝2，则a_n＋1＝，

即＝＋1，

得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2ⁿ，＝2ⁿ－1，a_n＝，

S_{2 023}＋2 023＝2＋2²＋…＋2^{2 023}＝2^{2 024}－2，

∴a_{2 023}(S_{2 023}＋2 023)＝2.

(3)已知数列{a_n}满足a_n＋1＝2a_n＋n，a₁＝2，则a_n＝________.

答案　2^n＋1－n－1

解析　令a_n＋1＋x(n＋1)＋y＝2(a_n＋xn＋y)，即a_n＋1＝2a_n＋xn＋y－x，

与原等式比较得，x＝y＝1，所以＝2，所以数列{a_n＋n＋1}是以a₁＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a_n＋n＋1＝4×2^n－1，即a_n＝2^n＋1－n－1.

题型二　相邻项的差为特殊数列(形如a_n＋1＝pa_n＋qa_n－1)

例4　(1)已知数列{a_n}满足：a₁＝a₂＝2，a_n＝3a_n－1＋4a_n－2(n≥3)，则a₉＋a₁₀等于(　　)

A．4⁷                                              B．4⁸

C．4⁹                                               D．4¹⁰

答案　C

解析　由题意得a₁＋a₂＝4，

由a_n＝3a_n－1＋4a_n－2(n≥3)，

得a_n＋a_n－1＝4(a_n－1＋a_n－2)，

即＝4(n≥3)，

所以数列{a_n＋a_n＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a₉＋a₁₀＝4⁹.

(2)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，且a_n＋1＝2a_n＋3a_n－1(n≥2，n∈N^*)．则数列{a_n}的通项公式为a_n＝________.

答案　

解析　方法一　因为a_n＋1＝2a_n＋3a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

设b_n＝a_n＋1＋a_n，

所以＝＝＝3，

又因为b₁＝a₂＋a₁＝3，

所以{b_n}是以首项为3，公比为3的等比数列．

所以b_n＝a_n＋1＋a_n＝3×3^n－1＝3ⁿ，

从而＋·＝，

不妨令c_n＝，即c_n＋1＋c_n＝，

故c_n＋1－＝－，即＝－，

又因为c₁－＝－＝，

所以数列是首项为，公比为－的等比数列，

故c_n－＝×^n－1＝－，

从而a_n＝.

方法二　因为方程x²＝2x＋3的两根为－1,3，

可设a_n＝c₁·(－1)^n－1＋c₂·3^n－1，

由a₁＝1，a₂＝2，

解得c₁＝，c₂＝，

所以a_n＝.

思维升华　可以化为a_n＋1－x₁a_n＝x₂(a_n－x₁a_n－1)，其中x₁，x₂是方程x²－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a_n－a_n－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a_n}．

跟踪训练2　若x＝1是函数f(x)＝a_n＋1x⁴－a_nx³－a_n＋2x＋1(n∈N^*)的极值点，数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝3，则数列{a_n}的通项公式a_n＝________.

答案　3^n－1

解析　f′(x)＝4a_n＋1x³－3a_nx²－a_n＋2，∴f′(1)＝4a_n＋1－3a_n－a_n＋2＝0，

即a_n＋2－a_n＋1＝3(a_n＋1－a_n)，∴数列{a_n＋1－a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴a_n＋1－a_n＝2×3^n－1，

则a_n＝a_n－a_n－1＋a_n－1－a_n－2＋…＋a₂－a₁＋a₁＝2×3^n－2＋…＋2×3⁰＋1＝3^n－1.

题型三　倒数为特殊数列

例5　(1)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝(n∈N^*)，则满足a_n>的n的最大取值为(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

答案　C

解析　因为a_n＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，

所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列．

所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以a_n＝，由a_n>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.

(2)(多选)数列{a_n}满足a_n＋1＝(n∈N^*)，a₁＝1，则下列结论正确的是(　　)

A.＝＋                                 B.是等比数列

C．(2n－1)a_n＝1                              D．3a₅a₁₇＝a₄₉

答案　ABC

解析　由a_n＋1＝，

可得＝＝＋2，所以－＝2，且＝1，

所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，

所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)a_n＝1，其中n∈N^*，故C对；

＝2²＝4，所以数列是等比数列，故B对；

由等差中项的性质可得＝＋，故A对；

由上可知a_n＝，则3a₅a₁₇＝3××＝，a₄₉＝＝，

所以3a₅a₁₇≠a₄₉，故D错．

思维升华　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b_n＋1＝pb_n＋q型，求出的表达式，再求a_n.

跟踪训练3　已知函数f(x)＝，数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝f(a_n)(n∈N^*)，则数列{a_n}的通项公式为____________．

答案　a_n＝(n∈N^*)

解析　由已知得，a_n＋1＝，

∴＝＋3，即－＝3，

∴数列是首项为＝1，公差为d＝3的等差数列，∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

故a_n＝(n∈N^*)．

课时精练

1．已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝2a_n＋1，则a₄的值为(　　)

A．15  B．23  C．32  D．42

答案　B

解析　因为a_n＋1＝2a_n＋1，

所以a_n＋1＋1＝2(a_n＋1)，

所以{a_n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以a_n＋1＝3·2^n－1，

所以a_n＝3·2^n－1－1，a₄＝23.

2．在数列{a_n}中，a₁＝5，且满足－2＝，则数列{a_n}的通项公式为(　　)

A．2n－3                                         B．2n－7

C．(2n－3)(2n－7)                           D．2n－5

答案　C

解析　因为－2＝，所以－＝2，

又＝－1，所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列，

所以＝－1＋2(n－1)＝2n－3，

所以a_n＝(2n－3)(2n－7)．

3．已知数列{a_n}满足：a₁＝1，且a_n＋1－2a_n＝n－1，其中n∈N^*，则数列{a_n}的通项公式为(　　)

A．a_n＝2ⁿ－n                                   B．a_n＝2ⁿ＋n

C．a_n＝3ⁿ－1                                   D．a_n＝3ⁿ＋1

答案　A

解析　由题设，a_n＋1＋(n＋1)＝2(a_n＋n)，而a₁＋1＝2，

∴{a_n＋n}是首项、公比均为2的等比数列，

故a_n＋n＝2ⁿ，

即a_n＝2ⁿ－n.

4．已知数列{a_n}满足a₂＝，a_n－a_n＋1＝3a_na_n＋1，则数列的通项公式a_n等于(　　)

A.                                           B.

C．3n－2                                         D．3n＋2

答案　A

解析　∵a_n－a_n＋1＝3a_na_n＋1，a₂＝，

∴a₁－a₂＝3a₁a₂，

即a₁－＝a₁，

解得a₁＝1.

由题意知a_n≠0，

由a_n－a_n＋1＝3a_na_n＋1得－＝3，

又＝1，

∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，

∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，

则a_n＝.

5．在数列{a_n}中，若a₁＝3，a_n＋1＝a，则a_n等于(　　)

A．2^n－1                                           B.3^n－1

C．                                          D．

答案　D

解析　由a₁＝3，a_n＋1＝a知a_n>0，对a_n＋1＝a两边取以3为底的对数得，

log₃a_n＋1＝2log₃a_n，则数列{log₃a_n}是以log₃a₁＝1为首项，2为公比的等比数列，

则log₃a_n＝1·2^n－1＝2^n－1，即a_n＝.

6．设数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＝－a_n－1＋2ⁿ(n≥2)，则数列的通项公式a_n等于(　　)

A.·2ⁿ＋                                         B.·2ⁿ＋·(－1)ⁿ

C.＋                                         D.＋·(－1)ⁿ

答案　D

解析　∵a_n－1＋a_n＝2ⁿ，

两边同时除以2ⁿ得，＋·＝1.

令c_n＝，

则c_n＝－c_n－1＋1.

两边同时加上－得c_n－＝－·.

∴数列是以c₁－为首项，－为公比的等比数列，

∴c_n－＝·^n－1＝·ⁿ，

∴c_n＝＋·ⁿ，

∴a_n＝2ⁿ·c_n＝＋·(－1)ⁿ.

7．(多选)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝(n∈N^*)，则下列结论正确的是(　　)

A.为等差数列

B．{a_n}的通项公式为a_n＝

C．{a_n}为递减数列

D.的前n项和T_n＝2^n＋2－3n－4

答案　CD

解析　因为a_n＋1＝，

所以＝＝＋3，

所以＋3＝2，

且＋3＝4≠0，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2^n－1，

所以＝2^n＋1－3，

可得a_n＝，

故选项A，B错误；

因为＝2^n＋1－3单调递增，

所以a_n＝单调递减，

即{a_n}为递减数列，故选项C正确；

的前n项和T_n＝(2²－3)＋(2³－3)＋…＋(2^n＋1－3)＝(2²＋2³＋…＋2^n＋1)－3n

＝2²×－3n＝2^n＋2－3n－4，

故选项D正确．

8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)

A．2 023×2^{2 020}                               B．2 024×2^{2 021}

C．2 023×2^{2 021}                               D．2 024×2^{2 022}

答案　B

解析　记第n行的第一个数为a_n，

则a₁＝1，a₂＝3＝2a₁＋1，a₃＝8＝2a₂＋2，a₄＝20＝2a₃＋4，…，a_n＝2a_n－1＋2^n－2，

∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列．

∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a_n＝(n＋1)×2^n－2.

又每行比上一行的数字少1个，

∴最后一行为第2 023行，

∴M＝a_{2 023}＝2 024×2^{2 021}.

9．已知数列{a_n}满足a₁＝，a_n＋1＝，若c_n＝，则c_n＝____________.

答案　(n＋1)3^n－1

解析　因为a₁＝，a_n＋1＝，

所以＝＝＋，

即－＝，

所以数列是首项为＝，公差为的等差数列，

所以＝＋(n－1)＝，

则c_n＝＝(n＋1)3^n－1.

10．已知数列{a_n}满足a_n＋1＝3a_n－2a_n－1(n≥2，n∈N^*)，且a₁＝0，a₆＝124，则a₂＝________.

答案　4

解析　由a_n＋1＝3a_n－2a_n－1(n≥2，n∈N^*)可得a_n＋1－a_n＝2(a_n－a_n－1)，

若a_n－a_n－1＝0，则a₆＝a₅＝…＝a₁，与题中条件矛盾，故a_n－a_n－1≠0，

所以＝2，即数列{a_n＋1－a_n}是以a₂－a₁为首项，2为公比的等比数列，

所以a_n＋1－a_n＝a₂·2^n－1，

所以a₆－a₁＝a₂－a₁＋a₃－a₂＋a₄－a₃＋a₅－a₄＋a₆－a₅＝a₂·2⁰＋a₂·2¹＋a₂·2²＋a₂·2³＋a₂·2⁴＝31a₂＝124，所以a₂＝4.

11．在数列{a_n}中，a₁＝1，且满足a_n＋1＝3a_n＋2n，则a_n＝________.

答案　·3^n－1－n－

解析　∵a_n＋1＝3a_n＋2n①，∴a_n＝3a_n－1＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，

a_n＋1－a_n＝3(a_n－a_n－1)＋2，令b_n＝a_n＋1－a_n，则b_n＝3b_n－1＋2(n≥2)，利用求a_n＋1＝pa_n＋q的方法知，b_n＝5·3^n－1－1，即a_n＋1－a_n＝5·3^n－1－1②，再利用累加法知，

a_n＝·3^n－1－n－.

12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x_n}满足x_n＋1＝x_n－，则称数列{x_n}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x²－8，数列{x_n}为牛顿数列，设a_n＝ln ，且a₁＝1，x_n>2.数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n＝________.

答案　2ⁿ－1

解析　∵f(x)＝2x²－8，∴f′(x)＝4x，

又∵x_n＋1＝x_n－＝x_n－＝，

∴x_n＋1＋2＝，x_n＋1－2＝，

∴＝²，

又x_n>2，

∴ln ＝ln²＝2ln ，

又a_n＝ln ，且a₁＝1，

∴a_n＋1＝2a_n，

∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴{a_n}的前n项和S_n＝＝2ⁿ－1.