§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案 A 解析 圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交． 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( ) A．4 B．2 C. D. 答案 B 解析 ∵x2＋y2－2x－4y＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为， 又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝， ∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2. 3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( ) A．±3 B．±5 C．3或5 D．±3或±5 答案 D 解析 圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
题型一 直线与圆的位置关系 命题点1 位置关系的判断 例1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 答案 ABD 解析 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2， 所以d＝>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2， 所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确． (2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( ) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 答案 C 解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)． 因为12＋22－2×1－8<0， 所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交． 方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交． 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 命题点2 弦长问题 例2 (1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为( ) A．± B. C. D．± 答案 D 解析 圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2， 点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝， 则弦长为2＝2，得2＝2， 解得k＝±. (2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________． 答案 x＝0或3x＋4y－4＝0 解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4， 所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2， 因为|AB|＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1， 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件； 当直线l斜率存在时，设斜率为k， 直线l的方程为y＝kx＋1， 则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝＝1， 解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0， 综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0. 思维升华 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 命题点3 切线问题 例3 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 解 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， ∴点P在圆C上． 又kPC＝＝－1， ∴过点P的切线的斜率为－＝1， ∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]， 即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M在圆C外． 当过点M的直线的斜率不存在时， 直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， ∴直线x＝3是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝＝， ∴过点M的圆C的切线长为＝＝1. 思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 例4 (2023·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________． 答案 2 解析 由圆O：x2＋y2＝2，得r＝， 四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝|PA|， ∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点， ∴P(x0，4－x0)， 则|PA|＝＝， 又|PO|2＝x＋(4－x0)2＝2x－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8， ∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥， ∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. 思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 跟踪训练1 (1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝的位置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 答案 D 解析 因为圆心到直线的距离d＝＝≤，当且仅当α＝kπ＋(k∈Z)时，取得等号， 又圆x2＋y2＝的半径为， 所以直线与圆相交或相切． (2)(2023·昆明模拟)直线2x·sinθ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为( ) A．2 B．2 C．3 D．2 答案 D 解析 易知圆的标准方程为x2＋(y－)2＝3，所以圆心为(0，)，半径r＝， 由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离d＝<，解得sin2θ>， 所以弦长为2＝2， 因为<4sin2θ＋1≤5， 所以1≤<3， 所以2＝2∈(0,2]． 所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2. 题型二 圆与圆的位置关系 例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C 解析 因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP， 故点P的轨迹C1是以A，B为直径的圆(不包含A，B)， 故其轨迹方程为x2＋y2＝m2(x≠0)， 又圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16上存在点P，故两圆有交点， 又|CC1|＝＝3， 则|4－|m||≤3≤4＋|m|， 解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7. (2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________． 答案 x－2y＋4＝0 2 解析 联立两圆的方程得 两式相减并化简，得x－2y＋4＝0， 即为两圆公共弦所在直线的方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 得(x－1)2＋(y＋5)2＝50， 则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5， 圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3)2＋l2，解得l＝， 故公共弦长为2. 思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 跟踪训练2 (1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为( ) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 答案 B 解析 圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2. 圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2， 则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|<R＋r. 故两圆是相交关系． (2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，
所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x＝－1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称． 易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x， 由得 由对称性可知公切线l2过点. 设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)， 则点O(0,0)到l2的距离为1， 所以1＝，解得k＝， 所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)， 即7x－24y－25＝0. ③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t， 易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1， 所以1＝， 解得t＝或t＝－(舍去)， 所以公切线l3的方程为y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0. 综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 课时精练
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案 B 解析 由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2， 则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r， 所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切． 2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是( ) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 答案 B 解析 由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1， 圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2， 则两圆的圆心距|O1O2|＝＝， 则2－1<<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2， 所以圆O1与圆O2相交． 3．(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为( ) A．2 B. C. D. 答案 D 解析 设圆心坐标为(a，b)， 则有 解得a＝－1，b＝4. 则圆心坐标为(－1,4)，半径r＝＝， 则圆心到直线2x＋y－6＝0的距离d＝＝， 则弦长为2＝2×＝. 4．(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案 BC 解析 由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2. 5．(2022·深圳模拟)若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为( ) A．(－18,6] B．[－2,6] C．[－2,18] D．[4,18] 答案 C 解析 将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18. 因为圆C上有到(－1,0)的距离为1的点， 所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|－1|≤|CC′|≤＋1. 因为|CC′|＝＝5，所以|－1|≤5≤＋1， 解得－2≤m≤18. 6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 AB 解析 由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，则圆心为C(2,0)，半径r＝2，过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A，B，连接AC，BC(图略)，所以四边形PACB为正方形，即PC＝r＝2，圆心到直线的距离d＝≤2，即－2≤k≤2，结合选项知实数k的可能取值是1,2. 7．(2022·阳泉模拟)若直线(m＋1)x＋my－2m－1＝0与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为________． 答案 2 解析 直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0，由得 所以直线MN过定点A(1,1)， 因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内， 圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为， 当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值， 此时|MN|取最小值，故|MN|min＝2＝2. 8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________． 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，|OP|＝为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为 (x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)， 则圆心分别为(1,3)，(5,6)， 半径分别为和. (1)当两圆外切时， ＝＋. 解得m＝25＋10. (2)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0. 所以公共弦的长为2× ＝2. 10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4. (1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交； (2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程． (1)证明 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0， 可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0， 由解得 所以直线l恒过点(2,3)， 由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4， 得点(2,3)在圆内， 即直线l恒过圆内一点， 所以无论m为何值，直线l都与圆C相交． (2)解 由C的圆心为(3,4)，半径r＝2， 易知此时直线m的斜率存在且不为0， 故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)， 直线m的一般方程为my－x＋1＝0， 圆心到直线m的距离d＝＝， 所以|AB|＝2＝2， 所以S2＝2 ＝·， 令t＝，可得S2＝4t－t2，当t＝2时，S＝4， 所以△ABC面积的最大值为2， 此时由2＝，得7m2－8m＋1＝0， 得m＝1或m＝，符合题意， 此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
11．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案 D 解析 点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－. 12．(2022·合肥模拟)已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，则sin∠AOB＝________. 答案 解析 因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为(x2＋y2－4)－(x2＋y2－x＋y－3)＝0，即x－y－1＝0， 所以圆心O(0,0)到弦AB的距离为d＝， 所以|AB|＝2＝， 所以在△AOB中，|OA|＝|OB|＝2，由余弦定理得cos∠AOB＝＝－， 所以sin∠AOB＝＝＝.
13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案 ACD 解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，因为4＋<5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确． 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．
14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3， 依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，
因为圆C2与圆C1内切， 则|OC2|＝r1－r2， 即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上， 过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝＝1， 显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2， 即圆C2的半径的最大值是2. |
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