中考数学之《每日一题》第10天（2023·上海·18）

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 考 题 赏 析 

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考题呈现

在△ABC中，AB=7，BC=3，∠C=90°，点D、E在射线CA上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，且⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是                             .

知识结构 

两圆的位置关系：R表示⊙M的半径，r表示⊙N的半径，d表示两圆的圆心距.

结论归纳

如图1：两圆外离（没有交点）⟺d＞R+r；

如图2：两圆外切（有1个交点）⟺d=R+r；

如图3：两圆相交（有2个交点）⟺R－r＜d＜R+r；

如图4：两圆内切（有1个交点）⟺d=R—r；

如图5：两圆内含（没有交点）⟺ d＜R－r.

方法点拨

1.利于数形结合思想，观察圆与圆的位置关系（交点个数），从而可转化为两圆圆心距与半径之间的和差关系，反之亦成立；

2.①如果两圆有1个交点，则两圆外切或者内切，对应的圆心距与半径的关系为d=R+r或d=R－r；

②如果两圆有2个交点，则两圆相交，对应的圆心距与半径的关系为R－r＜d＜R+r（R＞r）.

思路分析

1.画出草图6：

2.取临界（极端）位置求最小值

如图7，连接两圆圆心得BE，如图8，当⊙B与⊙E内切于点F时，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立关于r的方程，便解得r的最小值；

3.取临界（极端）位置求最大值

如图9，当⊙B与⊙E外切于点G时，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立关于r的方程，便解得r的最大值.

解答过程

解法2：如果两圆有交点，则圆心距与半径的关系为R－r≤d≤R+r（R＞r）

过程简述

拓展思维

在△ABC中，AB=7，BC=3，∠C=90°，点D、E在射线CA上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，且⊙B与⊙E没有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是                        .

思路分析

如图10和图11，两圆没有公共点，则两圆处于内含或者外离状态，即0＜r＜2或者r＞20/3.

解题反思

1.会根据题意画出草图，明确动点问题中产生的两个临界位置（内切和外切），再利用勾股定理构建方程求解此时的半径r；

2.根据题意将圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的不等关系，从而建立并求解关于r的不等式，注意在实际问题当中隐含半径r＞0.

变式训练1

在△ABC中，AB=7，BC=3，∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，且⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是              .

思路分析

1.画出草图12：

解答过程

解题反思

1.本解法选取点D和点E的两个临界位置，根据题意并结合图形可得半径r的取值范围；

2.注意：线段的延长线不包含线段本身.

变式训练2

在△ABC中，AB=7，BC=3，∠C=90°，点D在边AC上，点E在CD延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，且⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是                .

思路分析

1.画出草图16：

解答过程

解题困惑

问题：为何两圆相切时切点不是点A呢？

释疑：1.如图2和图4，当两圆相切时，两圆的圆心和切点在同一条直线上，而本课题中的三个问题点A、B、C不在同一条直线上；

2.可过两圆心作直线，与圆相交处便得两圆的切点.

解题心语

1.本题未给出图形，故考生必须绘制出草图，会将问题中图形的位置关系转化为图形的数量关系；

2.结合所学基本知识，会将动态（不定）问题转化为静态（临界）问题，对图形的变化规律要心知肚明，建立方程或者不等式进行求解；

3.审题必须清晰，命题者会在某些字眼上设“坑”，如线段AC上，射线AC上，图形有交点或者有两个交点之类的句式.