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第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件：
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动．( × ) 2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力．( × ) 3．做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．( √ )
1．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动． (2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动． 2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间． 3．速率变化的判断
A．仅增大吹气力度 B．将球门沿直线CB向B靠近 C．将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气 D．将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气 答案 C 解析 原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯地沿BC方向吹气来施加力的作用不能使球落入球门中，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；将球门C沿直线CB向B移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB方向运动了一段距离，可知球可能落入球门中，故C正确；将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误．
A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点 答案 D 解析 弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D. 考点二 运动的合成与分解
1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动． (2)运动的分解：已知合运动求分运动． 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法． 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
1．合运动的速度一定比分运动的速度大．( × ) 2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．( × ) 3．曲线运动一定不是匀变速运动．( × )
1．运动性质的判断 加速度(或合外力) 2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多 B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 答案 C 解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误．
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动 B．t2时刻，无人机运动到最高点 C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动 D．t2时刻，无人机的速度大小为 答案 D 解析 在0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A错误；在0～t4时间内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；在t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；在t2时刻，无人机的水平速度为v0、竖直速度为v2，则合速度大小为，选项D正确． 考点三 小船渡河模型两类问题，三种情景
A. B. C. D. 答案 C 解析 根据题意，设河宽为d，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为t1＝，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为v＝，渡河时间为t2＝，则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为＝，故A、B、D错误，C正确．
A．水流的速度大小为0.2 m/s B．船头与河岸间的夹角α为60° C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s D．河的宽度为200 m 答案 AD 解析 当船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，有x＝v2t1，解得水流的速度大小为v2＝＝ m/s＝0.2 m/s，选项A正确；当船头保持与上游河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，有v2＝v1cosα，d＝v1sinα·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sinα＝，v1≈0.33 m/s，d＝200 m，故船头与上游河岸间的夹角不是60°，选项B、C错误，D正确．
A．1∶2 B．1∶ C．2∶ D.∶2 答案 D 解析 设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D正确． 考点四 关联速度问题
A．绳的拉力等于M所受的重力 B．绳的拉力大于M所受的重力 C．物体M向上做匀速运动 D．物体M向上做匀加速运动 答案 B 解析 汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确．
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0 B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0 C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0 D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0 答案 A 解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cos θ＝vcosθ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误．
1．题型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
课时精练
1．关于曲线运动，下列叙述不正确的是( ) A．做曲线运动的物体一定是变速运动 B．做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零 C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动 D．因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动 答案 D 解析 做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确． 2．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大．图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是( )
答案 B 解析 由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确． 3.(2023·重庆市南开中学月考)如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是( )
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动 B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0 C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0 D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同 答案 B 解析 撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，因为受到的是恒力，故A错误；撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；撤去F3后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段时间后，速率比v0大，故C错误；因为这五个力不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D错误． 4.(2023·北京市育才学校月考)某质点在Oxy平面内运动的轨迹如图所示，则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是( )
A．质点在x、y两方向上都匀速运动 B．质点在x方向上匀速运动，在y方向上先加速后减速 C．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先加速后减速 D．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先减速后加速 答案 C 解析 若质点在x方向上始终匀速运动，合力沿着y方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向，则质点在y方向上先减速后加速，故A、B错误；若质点在y方向上始终匀速运动，合力沿着x方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向，则在x方向上先加速后减速，故C正确，D错误． 5．如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，两段绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA＋vB＝ m/s，sin 37°＝，cos 37°＝，则vA的大小为( )
A. m/s B. m/s C．2 m/s D．4 m/s 答案 A 解析 设此时绳子的速率为v绳，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，可得v绳＝vAsin 37°＝vBcos 53°，结合vA＋vB＝ m/s，联立解得vA＝ m/s，故选A. 6．(2023·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动 B．质点所受的合外力为22 N C．2 s时质点的速度大小为6 m/s D．零时刻质点的速度大小为5 m/s 答案 D 解析 由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向．在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；2 s末质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误． 7.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是( )
A．渡河时间t＝ B．渡河时间t＝ C．v水越小，渡河时间越短 D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短 答案 BD 解析 根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝，与v水无关，选项A、C错误，B正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝，选项D正确．
8.(多选)(2023·福建龙岩市才溪中学月考)如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以在静水中的速度v同时渡河．出发时两船相距2L，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点．则下列判断正确的是( )
A．甲船在A点右侧靠岸 B．甲船在A点左侧靠岸 C．甲、乙两船到达对岸的时间相等 D．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 答案 BC 解析 依题意，乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解可知v＝2u，将甲、乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为t＝，可得甲船沿河岸方向上的位移为x＝(u＋vcos 60°)t＝L<2L，即甲船在A点左侧靠岸，显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前相遇，故B、C正确，A、D错误． 9.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ 答案 C 解析 将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v1∥＝v1cos θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故选C. 10.(2023·湖北省模拟)图甲为我国运动员参加冰壶比赛的场景．比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动．在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶的运动轨迹(虚线表示)可能正确的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 B 解析 由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力几乎不变，若冰壶按如图的方向逆时针旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶的运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转，即①④正确，故选B.
11．(多选)(2019·全国卷Ⅱ·19)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 答案 BD 解析 根据v－t图线与t轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间长，由a＝可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确．
12.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离； (2)A、B两点间的距离； (3)小球的最大速率vmax. 答案 (1) (2) (3) 解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax， 解得xmax＝. (2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝ 由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1 竖直方向上有y＝gt2＝. (3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0 vy＝gt，则vmax＝＝. |
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