高数习题24 四边形的最大面积

本文中我们做一个条件非常宽泛的例题。

例24   四边形ABCD中，如果AB,BC,CD三边长度之和为24cm,问什么形状时四边形ABCD的面积为最大？

解题思路

关于求最大值或最小值的应用问题，微分学中给出了通用解决办法：

第一步，根据实际问题的具体情况，建立目标函数，确定其定义域。

第二步，求出目标函数的驻点。

第三步，将目标函数在所有驻点的函数值及目标函数在定义域边界上的最大值和最小值相互比较，确定目标函数的最大值和最小值。

回到本题，四边形ABCD的面积应该表达为一个四元函数，这个目标函数无论如何去建立，其繁复程度都可以想象得到。

即使面积函数已经建立，求其驻点的工作是：求函数对四个自变量的各自偏导数，令它们为零，然后去解由此导出的一个四元方程组。

这样都不用说第三步的工作，仅仅前两步的工作都基本不具备可行性。

所以，我们现在只能先抛开套路，另求他法。

为了对“解”有所认识，不妨假设所求最大面积的四边形已经得出！我们来看看这个最优的四边形应满足什么条件？（当然这里绝非指微分学中的最大值点必定是驻点或偏导数不存在的点、边界点，而是易于把握的由直观形象反映出的简洁结果！）

然后再研究一下，这些最优解应具备的条件是否能将最优解唯一确定出来！

注   在上面确定的解题策略下，本题的具体分析过程非常有启发性，我将在视频中进行较详细地介绍，这里同样是先公布答案。

答案   当AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=120°时，四边形的面积为最大。

本题解答视频中的解题过程简洁清晰富于启发性，它注重分析和推断，回避了冗长繁杂的演算。

这里体现的解题思想是“先找最优解的必要条件，然后再设法从这些条件中确定最优解”。追根究底，它与微分法求最大值的思想完全一致，而不同点仅在于将“利用求导（偏导数）解方程组去寻找驻点的计算程序”换成为“形象的直观的分析推理”而已。

并且我们从本例继续推广，可以考虑五边形、六边形、…….等更一般的情形。

一般地，在n边之和为常数a的凸n+1边形中，怎样的n+1边形具有最大的面积？

模仿上述的思考方式，我们可以得到，面积最大的n+1边形应内接于半圆周，该半圆周的直径为原未知边，而其它n边的边长都是a/n，且它们之中的任意两个邻边的夹角都等于.

如果再进一步设n趋于无穷大，显然，极限状态就是整个半圆周，此时圆的半径为a/π，半圆周长为a.

于是我们就得到了，长为a的曲线与任意长的直线段所围成的平面图形中以半径为a/π的半圆的面积为最大。