高数习题40 柯西中值定理中的辅助函数

前面的例题中，我们分别用了拉格朗日中值定理证明不等式和等式理论，用泰勒中值定理证明包含二阶导数的不等式，今天的例题则需要用到柯西中值定理，其核心技术仍然是构造合适的辅助函数。

例40  如果, 函数在闭区间上连续，在开区间内可导，试证明在内存在点使得

解题思路

我们仍然是将所要证明的等式进行转化变形，得到

不难发现在上面的式子中函数在中值点处的导数的系数的共同点是：某函数的增量与在某点的值的比。

于是，我们联想到使用柯西中值定理（此处大家需要立即脑补柯西中值定理的条件和结论）。

所以，我们根据所要证明的结论的特点，具体可以构造辅助函数为：

这三个函数分别与在上使用柯西中值定理，每个等式都通过移项将移到等式的右端，方程的左端就是我们要证明的等式的三个部分。

至此，我们对中值定理的引入、理解、证明以及简单的应用，连续做了几次专题，大家也对相关的内容多了一些认识，当然因为这块知识的重要性，以后我们肯定还会经常使用中值定理，经常构造辅助函数。