【原】实变函数习题解（

看不完全的地方左右滑动一下

设是可测集E上的非负可积函数列，并且, 在上几乎处处收敛于，证明

根据题意，对于任意的，单调递减并且收敛于。因此，我们可以使用单调收敛定理，得到：

接下来，我们考虑如何证明是单调递增的函数列。对于任意的，我们有：

因此，是单调递增的函数列。注意到也是非负可积函数，因此我们可以使用单调收敛定理得到：

根据题意，是可积函数列，因此也是可积函数。另一方面，由于单调递减收敛于，因此也是可积函数。因此，也是可积函数。因此，我们可以将等式两边相加，得到：

化简得：

证毕。

设是可测集E上的非负可测函数列，证明逐项积分定理：

我们可以将

定义为逐项极限

因此，我们有：

由于是可测函数，因此也是可测函数。另一方面，对于任意的，我们有：

因此，根据单调收敛定理，我们有：

另一方面，我们有：

由于是非负可测函数，因此存在。另一方面，对于任意的，我们有：

因此，

因此，我们证明了逐项积分定理：

设是可测集上的可测函数列，并且在上几乎处处收敛于，若另有上的可测函数列满足条件于, 证明也在上也几乎处处收敛于. （提示：把使得以及不收敛到的E中“坏点”都挖掉.

根据题意，对于任意，存在可测集，使得，且对于任意，有。

由于在上几乎处处成立，因此对于任意，存在可测集，使得，且对于任意，有。令，则。

现在考虑对于任意，要证明存在可测集，使得，且对于任意，有。

对于任意，取可测集如上所述。由于，因此存在，使得对于任意和任意，有。而对于任意，存在可测集，使得对于任意，有。因此对于任意和任意，有

。令，则，且对于任意，有。 综上所述，对于任意，存在可测集，使得，且对于任意，有。因此在上也几乎处处收敛于。