无理数背后的历史和数学

    在我们开始之前，我想大家都应该承认实数包含有理数和无理数。当然如果你喜欢开普勒的叫法将无理数称之为不可名状之数，也是可以的。但是我们还是习惯称之为无理数，这是在纪念希帕索斯，当初他发现了根号2，被毕达哥拉斯学派“无理”地夺走了生命。

    那么现在试想你躺在在数轴上，我们在日常生活中接触的数大多是有理数，它们密密麻麻地排列在数轴，以至于不管你躺在数轴哪里，左拥右抱的都是有理数，这在数学上叫做稠密性。

    虽然你左拥右抱是如此地幸福，可我还得提醒你一句，尽管有理数是如此稠密，可从测度来看全体有理数的测度为0，那些你看不见的无理数才是数轴上真正的宝藏，左拥右抱终究只是一场空。那么毕达哥拉斯学派的希帕索斯是如何发现无理数的呢？

    这样从勾股定理谈起，所谓勾股定理是指直角三角形中，两直角边和斜边所满足的关系式。

    目前已经发现勾股定理（毕达哥拉斯定理）证明方式粗略估计有将近300多种，我们简要介绍几种精彩的。利用二阶行列式表示有向面积进行证明。

    当然也会有比较初等的证明，利用所谓的赵爽弦图给出的证明：

    当然还有天秀的利用无穷级数的。

最后只要在计算一下就可以了：

    言归正传，当时的毕达哥拉斯学派认为万物毕数，即宇宙的一切都可以归结为整数之比，可是希帕索斯利用勾股定理发现，两直角边为1的直角三角形斜边似乎无法用整数比来表示。用现在的语言来说就是根号2不是有理数。

    希帕索斯将他的发现告诉了老师，可这样的发现毫无疑问推翻了学派的信条，他们将希帕索斯残忍的丢进大海。整个事件彻头彻尾地变成了一个悲剧。可秘密不会被永远埋藏，人们最终还是了解到了无理数的存在。

历史永远只会向前发展，毕达哥拉斯学派大概是公元前6世纪左右，当人们了解到无理数的存在后，迅速地开始投入研究：

• 欧多克索斯（Eudoxus）（公元前5世纪）：欧多克索斯是古希腊数学家，他提出了一种方法，称为“欧多克索斯的方法”（也叫穷竭法）用于研究曲线和面积。这种方法被用来处理无理数，为无理数的概念奠定了几何基础。

• 阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一。他发展了一种逼近方法，使用有理数逐渐逼近无理数的值。他在《圆的测量》和《球和圆柱的测量》等著作中阐述了这些方法。

    可无理数真正地正式定义和处理要等到18世纪末19世纪初的时候，当时的数学家正在致力于微积分的严格化，想要摆脱那个“无穷小的幽灵”。人们逐渐发现，想要解决微积分的基础问题，必须要对实数全面的了解，而这之中，最终要就是如何定义和处理无理数的问题。

    当时出现很多建构和定义实数的方法，主流的有戴德金分割和柯西列的方法。关于柯西大家可参考严以待己，严以待人——路易·柯西。我们简要介绍一下这两种建构实数的方法：

1. 戴德金分化（Dedekind Cut）方法：戴德金分化方法是由德国数学家Richard Dedekind于19世纪提出的。在他的这个方法中，实数集被分成两个非空子集，称为“戴德金切割”。其中一个子集包含所有小于某个实数的有理数，而另一个子集包含所有大于该实数的有理数。这样的一个切割可以被看作是一个实数。

2. 柯西列（Cauchy Sequence）方法：柯西列是由法国数学家奥古斯特·柯西（Augustin-Louis Cauchy）提出。柯西列是一个数列它满足对于任何小的正实数，只要数列的后续元素到足够靠后的位置，它们之间的差异就会小于这个正实数。柯西列方法基于序列的收敛性，即数列在无穷项处的极限。大家可参考实数完备性——柯西列介绍

    如果你问我这两种方法谁好谁坏的，我个人更倾向于戴德金分割的方法。理由嘛，主要是直观和简洁的考虑。

1. 直观性：戴德金分化方法对于初学者来说相对直观。它基于实数在有理数中的位置，即戴德金切割所处的位置，使我们更容易理解实数的构建过程。

2. 无需序列：与柯西列方法相比，戴德金分化方法不需要使用序列的收敛性概念。对于柯西列方法，需要考虑序列的收敛性以确保实数的构建，这可能较为抽象和复杂。

3. 简洁性：戴德金分化方法在构建实数时所涉及的概念相对较少。它只需考虑戴德金切割的存在性，而无需处理序列的逐项收敛性。

    不过这种事我向来建议大家自己去看一下，然后比较，我的品味只代表个人，好了今天这期就到这里吧。