一道开阔视野的代数题

数学竞赛

今天培训在听龚固老师讲代数，虽然讲义很难，但是好在龚老师追本溯源，给出了他推广的题的原型，这就给了我这样的学渣学习的机会。下面这道题，我个人感觉比较适合联赛备考学生开阔视野，写一下龚固老师的做法，顺便聊一聊自己的感受。

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从形式来看，由一次求和进而算二次求和，最直接的方法就是使用柯西不等式，具体如下：

（右侧分数值大概为74409.6）

这过程，看着就舒服，柯西不等式真香！

可惜这道题有额外条件，即a为自然数，柯西取等会使得每个a都相等，与自然数矛盾，等号取不到。

这怎么办呢？

其实从柯西取等的结果来看，取等条件为a=2023/55，这是一个位于36和37之间的数，那么根据不等式特征，所有的项只要能够尽可能的靠近这个值，那么不等式的结果就会更小（为什么呢？）。

按照尽可能靠近取等值的想法来操作，我们只需要让所有的a值为36或37即可，那么在这种情况下，就有了下面的特殊做法。

取等条件可以通过分析等式找到（多种），比如当a2=a10=36，其余项为37时取到最小值。

龚固老师的这个特殊解法，让我眼前一亮，尽管里边的原理我不能够体会，但是这个特殊变化真的是给出了一个特别的构造整数不等式的方法。

不等式的解决方法中，类似于这样的不等式构造非常神奇。我记得对于任意的三个数abc，一定有两个不大于1或者不小于1（这里是几都可以），抽屉原理，因此可以指定这两个数是ab，那么就有（a-1）（b-1）≥0，这就相当于是做不等式时，额外加条件，这不是一般人能想到的方法。

推广我就不提了，简单说就是“要不起”。

今年一年，我的主要精力是在研究代数上，虽然自己能力有限，只能研究一些简单的均值、柯西之类，但是随着深入思考的机会多了，能够从其他大神那里学到的东西也多了。我经常提醒学生，一定要静下来，认认真真的去思考那么一两道题，这才是真正的学习竞赛。龚固老师推广的这道题，我写的是原题，推广有四层。虽然我仅仅停留在第一层，高层次我不见得能看明白，但是只要我思考了，我就一定会有收获。

今天下午忙了一下午，没有聆听智慧，遗憾。就这样吧，明天继续学习！