如图.在等腰Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.D为BC的中点.E为斜边AB上一点.且AE=2EB.CE与AD交于点F.连接DE．(1)求AF:FD,(2)求证:CE⊥AD,(3)求证...

题目内容

15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，E为斜边AB上一点，且AE=2EB，CE与AD交于点F，连接DE．
（1）求AF：FD；
（2）求证：CE⊥AD；
（3）求证：∠ADC=∠BDE．

分析 （1）作CG∥DE交AB于G，交AD于H，根据三角形中位线的性质求得AG=GE=EB=13AB，进而求得AH=HD，设AK=BK=1，则CK=1，AC=BC=√2，根据中位线的性质得出CH=2DE-12DE=32DE，FH=32FD，从而求得AFFD=41；
（2）由CG∥DE，得出HFFD=CHDE=32，进而求得CF=35CE，作CK⊥AB于K，根据勾股定理求得CE=√103，求得CF=35×√103=√105，由CF²+AF²=AC²，证得△ACF是直角三角形，从而证得CE⊥AD；
（3）根据平行线的性质和等腰三角形的性质求得即可．

解答

（1）解：作CG∥DE交AB于G，交AD于H，
∵CD=BD，
∴BE=EG，
∵AE=2EB，
∴AG=GE=EB=13AB，
∴AH=HD，
∴CH=12AD，
设AK=BK=1，则CK=1，AC=BC=√2，
∵CG∥DE，CD=BD，
∴CG=2DE，
∵AG=GE，
∴GH=12DE，
∴CH=2DE-12DE=32DE，
∴CHDE=32，
∵CG∥DE，
∴HFFD=CHDE=32，
∴FH=32FD，
∵AH=HD=FH+FD=52FD，
∴AF=AH+FH=4FD，
∴AFFD=41；
（2）证明：∵CG∥DE，
∴CFFE=CHDE=32，
∴CFCE=35，
∴CF=35CE，
作CK⊥AB于K，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AK=BK=1，
∵AE=43，
∴EK=43-1=13，
∴CE=√CK2+EK2=√103，
∴CF=35×√103=√105，
∵AC=BC=√2
∴DC=√22，
∴AD=√AC2+DC2=√102，
∵AFFD=41；
∴AFAD=45，
∴AF=2√105，
∵CF²+AF²=（√105）²+（2√105）²=2=AC²，
∴△ACF是直角三角形，
∴CE⊥AD；
（3）证明：由（1）可知A=DH，
∴CH=DH，
∴∠GCD=∠ADC，
∵CG∥DE，
∴∠BDE=∠GCD，
∴∠ADC=∠BDE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质三角形中位线的判定和性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质等，作出辅助线，构建三角形的中位线是解题的关键．