【原】与等腰直角三角形有关的探究，方法常常不唯一

已知：如图1在△ABC中，∠BAC=90°，直线DE经过点A，过点B、C分别作BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E，且BD=AE；

(1)AB=AC

(2)如图2，若点F为BC边的中点，连接DF、EF，分别交AB、AC于M、N，求证：DF⊥EF；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接MN，过点F作FH⊥CE于H交AC于G，若BM=4，MN=，求NG的长.

解：(1)由∠BAC=90°得∠BAD+∠CAE=90°，而∠BAD+∠ABD=90°得∠CAE=∠ABD；同时BD=AE，∠D=∠E，故△ABD≌△CAE，故AB=AC

(2)方法一：延长DF交EC于点G，F为BC的中点得BF=CF；而BD||EC，得∠BDF=∠CGF，∠DBF=∠FCG，故△BDF≌△CGF得DF=GF，BD=CG；而BD=AE故AE=CG，得ED=EG，故EF⊥DF

方法二：连接AF，作FP⊥DE，FQ⊥BD，易知AF⊥BC，AF=BF，在四边形ADBF中，∠AFB+∠ADB=180°故∠DBF+∠DAF=180°，而∠DBF+∠QBF=180°得∠DAF=∠QBF；∠Q=∠APF，故△FAP≌△FBQ，FP=FQ，PA=BQ得DQ=DP;同时AE=BD，故PE=DQ，得PD=PE=PF，故DF⊥EF

(3)连接AF，由(2)易知∠AEF=45°,AF=BF，∠BFM=∠AFN，∠ABF=∠NAF，故△FBM≌△FAN，AN=BM=4,得AM=8

方法一：作FT⊥AC于点T，AC=12，FT=6，NT=2，FN=2，∠EFH=45°，易得△NFG~△NCF，得GN=5

方法二：△AFC为等腰直角三角形，∠NFG=45°，由夹半角模型结论得GN²=AN²+CG²，得GN=5

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