习题集之函数与导数：题目56——极值点偏移

【题源】AoPSOnline用户：wyz.

【题文】已知，且x1<x2为f(x)的两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)若对任意a>1，，求λ的最小值.

【分析】(1)直接求导研究函数性质即可.(2)下面解法为解决极值点偏移问题的同构方法，其中函数h(x)是通过泰勒公式构造的，并不是胡乱构造的.

【备注】

(1)类似的同构问题可以参见图文《习题集之函数与导数：题目50—极值点偏移》.

(2)下面证明λ=e时不等式成立的方法来自AoPSOnline用户'wyz'，与构造偏差函数类似，本质上是利用函数单调性消元.

下面为上述解法中相应函数的图象（Maple绘图），以供参考.

(3)这道题还有一个切入点——比值代换，令x2/x1=t>1，则

于是，原不等式转化为证明下列不等式成立，

但是笔者没有证出来.如果读者证出来了，欢迎不吝赐教.

(4)本题的精度较高，我们其实还可以证明下列不等式，欢迎尝试.

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