名家自述 | 单墫：谈数学学习、解题、教学

谈数学学习、解题、教学

单墫（南京师范大学）

一、谈数学学习

说实话，小时候我自己对数学并不是太上心，我其实更喜欢文史一些。喜欢看小说，看历史上的东西。那时候觉得数学好像没什么用，就是觉得比较容易。我小时候喜欢玩，下棋，比如象棋、军棋，那时候没有围棋，围棋那时候不普及，还有打扑克牌、牌九。其实我小的时候就是喜欢玩，数学也没花什么功夫，那时候也不像现在，要学这么多奥数。

我在小学的时候做算术应用题有个特点，老师那时候都要求解应用题要分开写几个式子，但是我基本上从头到尾就写一个式子。因为那时候数学学得不错，脑子转的很快，所以可以就写一个式子。

当时小学数学比较容易，初中也学的很少。像平面几何，我们初中都不学相似，相似是在高中才学的，用的是苏联教材，但教材体系比较严谨。我觉得那时候初中对平面几何的表达都要求比较严格。我们做平面几何都要求打草稿的，我语文作文都不打草稿，但是做平面几何是要打一个草稿，然后再写上去。我们老师要求非常严格，他打个差都是打对角线的那种大差。他个子也高，嗓门也大，一叫大家都吓一跳，很认真、很严肃。但是初中数学那时确实不是很难，不过我们都觉得很有意思。好就好在不是很难，都是因为兴趣、喜欢，思维要求也不超过我们那时候学生的水平，学生只要努力就能达到了，要是太难的学生就该没有兴趣了。

到了高一稍微花了一点功夫，当时平面几何书是线装本的，刚发下来老师还没讲我就把题目都做了一遍。那个教材习题比较多，还是不错的。现在的教材也有这个特点，习题比较多。我那时就是喜欢自己看看书，主要还是因为有兴趣。我们那时候书看的也不多，平面几何好不容易有一本李俨的《近世几何学初编》，不过排版的错误非常多。后来有一个同学买了一本邱丕荣的《近世几何学》，大家当了宝贝，那个书相当好了，但也就只有平面几何而已，现在来看眼界非常浅，那时没看到过现在许多东西。

我们那时候还组织了一个数学小组，叫FSTY，四个同学一起做《数学通报》上的题目。FSTY其实就是每个人的姓氏首字母。其实我们那时候就是觉得做数学题很好玩，也没有说特别懂什么的，都是自己感觉兴趣。但水平也就如此而已，那时候书也少，偶尔看几本书或者小册子，也没有看得太懂。那时候就喜欢玩儿，可是好玩的东西也少，下下棋啊，书也少。

上高中那会儿，我哥哥比我高两个年级，他是南京师范大学数学系的，所以有时候我就看看他的书。他到大学就学微积分了，我也拿他的书来看看，就是也看看微积分，比较浅的也看了一些。那时候我还在上中学，可能看的最花功夫的一本书是高扬芝的《极限浅说》，她是南京师范大学早期的系主任，一位女教授。说老实话，那本《极限浅说》写的一点都不浅，书中什么都要证的，而且印刷错误非常的多，真的看得头疼得要死，但是不管怎么说总想要看下来，确实觉得我看书的能力还是有的，坚持下来以后，后来看书不觉得吃力，就是说自学的能力还是有提高的，自己能看书了。

后来接触到的微积分教材比较严谨，我们大概在高三也看了。上大学以前我也看过，就是自学过一些东西。好像数学是看那些书，乱看看，也没有什么计划，我哥哥买了些书他看，我跟着他看，其他的真是没怎么用过功。

但是像我这样不用功的也少，我上课净是在胡思乱想，很少听课，常常上课做作业，在学校时就偷偷的做，放学时就做完了。那时候应该说课程比较轻松，相对来说比较容易，跟现在不好比，现在中学学的内容太多。我的小测验成绩往往不大好，数学可能好些，可以做出几道题，总归就是不非常用功，那时候不懂得用功。

（本节内容选自曹一鸣教授主编的《与数学家同行》一书）

二、谈数学解题

解题能力的话应该说也是要锻炼的。我在中国科学技术大学上研究生时，同宿舍的有肖刚和李克正，他们的解题能力都很强。因为我“文革”前就教书了，他们]那时候都还是学生，所以中学这块儿知识我觉得我还是很强的，就是做题能力很好，但是跟他们一比却不高。他们有很好的想法，而且思路很活，跟他们学到不少的东西。刚开始大家一起做题，做美国的大学生竞赛题，确实收获很大，他们思维很开阔，跟这两个人学到很多东西。他们对我的影响很大，解题方面的能力提高很多。你跟一个高手在一起切磋才会有很大的进步，就跟下棋一样，你跟一个下得好的一起下，很容易提高。

我还在解题上有个心得，就是总希望把题解得更好点，那就需要在做完以好好总结下。在解题这方面波利亚的几本书是相当好的，如《怎样解题》，他确实是有真正的看法。我一直是要求自己写完以后要回顾，要注意看能不能写得更好一点。对于老师来说，不是说一个问题你绕了5个圈子解决了，你还要带着人家再要绕5个圈子。即使你自己绕了5个圈子，讲的时候，要让人家少绕圈子这才是好的，所以要注意这个问题，每次都注意做的更好一点。

现在的学生做题很多了，也不一定对他的解题有特别大的帮助。

第一，现在的学生功利性太强，他不一定是因为喜欢数学而去做题的。

第二，确实是有些人把太难的题目给小孩了，这个不好。包括教材里面也有很多很难的题目，以前教材中的题目难度还比较平稳，偶尔有点难的题放在最后。现在你不知道忽然哪个难题就“锚”在里面，这个很不好。教学时可以补充一点课外题，但是基本上来说不要太难，更不要总是以中考、高考题为目标，我觉得现在有些题是过分难了。一个题目是你自己解出来，还是看了解答之后想出来的，是很不一样的。我们许多人碰到难题，看了解答觉得不难，其实是不恰当的。

第三，就是初中教材的要求太低，而课外的题太难。以前是课内外差别不大，课外难一点，但不是难很多，现在差距太大。这也许和现在的课标制定有关。初中课标把几何证明几乎取消了，把几何的表达要素基本上取消了，把三次方公式、十字相乘这些乘法公式基本取消，那等于初中的代数也没有学，所以初中的教材东西就很少。在学校里面没有让学生学，学生跑到外面学，这样就很花时间很花精力。你在学校给他学点儿就好了，他也不累，现在反而造成他负担很重。如果仅仅学在学校教的东西又太少，确实也不行，这是一个大问题。总归教育搞成这样，还是有问题的。从1980年代末以来，教育水平是有所下降。本来1980年代左右还是可以，现在除了应试高考的书基本上也没有什么了。

现在的问题就是给数学的负担太重，刚才讲初中教材内容少而空，高中教材的内容却是多而杂。你比如说算法的东西不应该在数学里面，应该是计算机的内容，这个应该把它切掉，把这个切掉以剩下的就少很多。现在学生学的确实比较多比较杂。作为数学本身应该学习的最基本的东西反而不存在了。就像我们学生在学校里面需要把身体锻炼好，你不能让学生既要会踢足球，又要会打篮球，他各个项可以自己去搞，我们教他们把身体基本素质锻炼好，提高基本的反应灵敏度，学一些基本的东西。数学要把自己的体系搞好，现在好多人不承认数学有一个体系，要把体系打掉，非要过度强调应用。数学主要是培养人的思维能力，当然学好数学需要的思维能力也是很强的。

总结数学解题的12条原则：

(1)要享受到解题的乐趣，对解题有浓厚的兴趣，能有几分痴迷更好；

(2)要有充足的信心；

(3)要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力；

(4)要做100道有质量的题目；

(5)反复探索，大胆地跟着感觉走；

(6)从简单的做起；

(7)从不同的角度看问题；

(8)学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”；

(9)设法创造条件，不断变更问题；

(10)引入适当字母，向基本量靠拢；

(11)力求简单自然，直剖核心；

(12)注意总结。

（本节内容选自“单墫解题研究丛书”中的《解题研究》一书）

三、谈数学教学：一生从教

感谢江苏省数学会数学教育分会、感谢南京师范大学数学科学学院（组织“单墫数学教育思想专题研讨会”，2023年4月23日，南师大），感谢大家！

我们南师大数学教育专业培养了很多人才，我个人觉得应该形成了一个南师大数学教育学派，很多人在其中发挥了很好的作用，我个人只起了一点作用。

这次会议大家已经讲了很多的教育理论，我就不讲理论了、讲得实在一点。围绕题目《一生从教》，下面我讲几个故事，故事都是真实的、发生在我身上的。

1、第一个故事：我从小就想当老师。

2、第二个故事：我当了老师。

因为我想当老师，中学上完后，就上了大学——现在的扬州大学，那个时候叫扬州师范学院。

（1964年从扬州师范学院毕业）

这件事本来很简单，但是，产生了一些影响。她告诉同学，她的同学又告诉同学，结果整个初中都知道了：单老师会做题；单老师教代数，还能做几何题；单老师题目才说完，就做出来了。这些其实都没有什么稀奇的，但后来，学校领导也知道了。教导主任、校长、书记研究了一下，教导主任就找我谈话了：“初一，你不要上了。”我说：“我才上不到一半——一个学期还没上完呢！”他说：“你去上初三，上四个班的初三。初三总共六个班，还有两个班是对面教师进修学校的老师在我们学校蹲点的，不能换。但是，这个老师不辅导，上完课就走人。所以，六个班的自习课，你都去转一转、看一看，你辅导，包括辅导几何。”这样，代数就交给我了，几何也交给我了，初三就交给我了。所以，我感觉，一个人还是要有点真本领的，教数学得把数学学好（包括会做题）。所以，学习很重要：如果你本领不够，就去学习。

这里，我还要特别感谢扬州师范学院。那个时候，她刚从苏北师范专科学校转成师范学院，强调打好基础，包括两个方面的基础。

一个基础是中学数学。当中学数学教师，中学数学不行怎么行呢？我们很多课基本上是把中学数学重新上了一遍的——当然，是提高性质的，不是简单重复。比如平面几何，那个时候教的是梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》。这本书上的很多题，可能现在搞竞赛的人都不一定做得出来。至于代数，我记得是高古风老师教的。1949年以前国内出版的最好的代数教材是英国霍尔、奈特的《大代数》，后来又出版了一本苏联诺洼塞洛夫的《初等代数专门教程》，高老师把这两本书里的精华都给我们讲了。所以，我们的基础打得很好。

另一个基础是大学的基础课——数学分析和高等代数。有了这个基础，我后来在中国科学技术大学教一年级的微积分，就很轻松。我认为，教大学（高等教育），重点在好的学生；教中学（基础教育）则要注意照顾差的学生。所以，在中科大，我不大讲书上的东西，更多地讲我自己的想法。一开始，学生不怎么适应，后来，学生也接受了，所以，第二年、第三年……一直由我教。

3、第三个故事：我研究生考到了中科大。

“文革”期间，高考中断了。1976年开始，国家酝酿恢复高考。同时，很多学校也酝酿招收研究生。首先是复旦大学，于1977年年初开始招收研究生。当时，我的同事建议我去。我一想，不能去。为什么？因为钱。那个时候，我的月工资是51块7毛，而且，上有老，下有小。去一趟复旦，来回路费，加上住宿费，估计要30块钱。当时，我们组里的赵传芬老师说他帮我出钱。我非常感激，但是想想，还是不能去。为什么？一个是请假、找人代课，都要颇费周折。还有一个原因是，我自己也没有做什么准备，10年也没有好好读书，突然就考，没有把握。但是，赵老师非常好，他说：如果你觉得没有把握，可以看看有没有其他学校能考，再准备一下。当时，我并不知道哪个学校好，偶然发现中科大是年底考试，时间充裕多了。但是，最终也没有很好地准备：一方面有教学工作，另一方面有点得过且过的心理。到了下半年，9月份开学后的一个星期三，人事秘书突然把我喊出来，对我说：中科大有人找你。我一看，来了两位老师：一位是常庚哲老师，一位是彭家贵老师。常老师说：“你是报考中科大的老师吗？”我说：“是啊！”“那就明天考。”我问：“不是年底考吗？怎么明天就考？”“没有关系。考得不好，不影响年底考；考得好，大有好处。”常老师有点结巴，说这句话的时候，“大”字重复了好几遍。这让我认为，考得好，一定录取我。所以，我就准备第二天去考了。

为什么会发生提前来找我去考这个事情呢？这就要讲到另外两个人。一个是肖刚，无锡人。他“文革”前读到初一，后来插队了，之后被当时的江苏师范学院（现在的苏州大学）招到外语系，学外语。但他的外语好的不得了，根本不用学。他就利用外语的优势看数学，学了同调代数、代数几何等——那个时候，只有外文书店才有这些书的外文版。然后，他就给中科大写自荐信：我学了这些东西，我觉得我数学学科上没问题，你们不信，可以派个人来考我。结果，中科大就派人来考他，发现果然很厉害，就招去了。另一个是李克正，南京人。他在南京师范大学附属中学读的高中，高一的时候就自学了范德瓦尔登的《代数学》，我想现在大学四年级的学生也不一定能看。可惜，“文革”发生了，他就去插队了；插队几年后，就调回城里当了工人。到了1977年，他就去考复旦大学的研究生。一考，不满意：成绩不太理想。他又去参加高考。高考，也不满意：题目太容易了。他也给中科大写自荐信：我读过哪些书（报了几本很专门的书），我觉得我可以读研究生，你们可以来考我。中科大一看：前一个肖刚考得很好，这又来一个。所以，又派人去了。想着既然到了南京，可以顺便看一下其他人。然后，就来找我了。同时，还找了另外一个人，一共三个人。

（1982 年无锡梅园留影：肖刚、李克正、单墫）

学校提供了一个会议室，布置一下作为考场。第二天就考。上午考数学分析，6道题，5道正式题、1道附加题。我10年没考过试了，有点紧张，赶紧埋头做。差不多快做完两题的时候，稍微歇一口气，就看看动静。第三个人是学工科的，觉得理科的题太难，就放弃了。李克正也没动静，我想他是不是也不会做啊！又过了一会儿，常老师讲话了。他看李克正动了一下笔，就说：你这一步做得很好。我当时就有点奇怪：监考员能和考生讲话吗？但我还是赶紧做，虽然知识忘了不少，但是做题还行。结果 5道题都做完了，就松了一口气。一松气就不行了，附加题做不出来了，总是走到死胡同里。后来，我就交卷了。结果，李克正也做了5道题。但李克正比我强，他一开始就做附加题，而且做出来了。总之，两位老师对我和李克正都很满意。

4、第四个故事：长期备课与短期备课。

要从苏联教育家苏霍姆林斯基讲起。严格来讲，苏霍姆林斯基是乌克兰人。他生在乌克兰，长在乌克兰，原来在乌克兰当兵，复员回来当了老师，后来当了校长，写了很多教育方面的著作。有一次，他去听课，听一节历史课。听完以后，他就问上课老师：“你这节课，备课花了多长时间？”上课老师回答了一句很有名的话：“我这一生都在备这节课。”这句话让他非常佩服。这句话好，说出了长期备课和短期备课的关系。一个人一生都在学习、在读书，水平很高，维度很高，上一节课，就是“降维打击”了。长期备课了，短期备课就不是那么必要了。我再举一个例子。有一年，南师附中开会，研讨马明老师的教育思想。当时，马老师还健在。会上，很多老师讲话，讲了马老师怎么认真备课，讲了很多。后来，要我讲。我就说，马老师肯定是认真备课的，但是，马老师不备课，也可以把课上得很好：第一，他字写得好，粉笔字是一流的，硬笔书法也是一流的；第二，他的文字功底、语言表达好；第三，他的数学好，他“文革”前就出过一本书——《圆和二次方程》；第四，他对教材的理解很好，因为教了很多年，对课堂的掌控、驾驭游刃有余。

现在，教师写备课笔记，花的时间很多，很辛苦，有的半夜还在写。但是，我当学生的时候，不是这样的。我们的数学老师没有人带备课笔记，只带一本教材。有一位语文老师，会带一本备课笔记。一上课，把备课笔记往桌上一放，文言文中的一个字能讲一节课，讲得滔滔不绝。他的语文课有时连上两节。中间休息的时间，我们偷看他的备课笔记，发现上面只有五行字：第一行，课题；第二行，作者；第三行，主题思想；还有两行，再写点其他的（有时下面两行也没有）。很简单！那些上课讲的东西，都是平时积累的，不需要备课。我认识一个人，他从当老师开始到正式退休，有45年的教龄，从来没有“备过课“”，从来没有写过“教案”。实际上，长期备课以后，有了一定的水平，就会发现上课很简单。

5、第五个故事：讲课不应超过15分钟。

我们说代数课，说穿了，就是“一个法则、两个例题”。“一个法则”我当然知道，推导我也会。就是不会，或者“卡壳”了，拿教材来看一下，也没有问题。“两个例题”当然更会做，例题一般都不难。如果是面对面的培训，5分钟就行了。如果是一个班里有四五十个学生的情况，可能时间要多一点，但是，至多不应该超过15分钟。为什么？因为学生注意力高度集中的时间不会超过15分钟。时间一长，思想就分散开去了，效果就很差。所以，课尽量要在15分钟之内讲完。我第一次在初三上课，就讲15分钟，讲完了就让学生做作业。学生很疑惑：怎么就做作业了？我说：是做作业了，把作业本拿出来。后来，学生就知道了，我只讲15分钟，所以，有学生一上课就把作业本摆在边上。学生做作业，我就在课桌之间转来转去，看哪些学生不会。第一次，我也不知道哪些学生好，哪些学生差。后来，我就熟悉了。我特别关心差的学生，看他们会不会做。差的学生，常常拿作业本都比别人慢。有一次，一个学生不拿作业本，我对他就说：“作业本拿出来做作业。”“我不会。”“刚讲过就不会了？”“不会。”“哪一题不会？”第一题不会，我就讲第一题……也有时不会的原因是我讲得不好。这时，我会再讲一下（顶多5分钟）：大家注意啊，有个地方我讲得不清楚……我结合例题再讲，学生就算不会，抄也抄下来了。所以，大部分学生在下课之前，作业都做完了。对好的学生，我就出几道思考题给他们。比如，后面要讲韦达定理了，我就让他们思考：一个一元二次方程如果有两个根x1、x2，那么，x1+x2会等于什么？x1∙x2又等于什么？

我现在发现，一些数学老师不像是教数学的，更像是教语文的。一黑板汉字，再一黑板还是汉字。最近在网上看到一位数学老师的课，他40分钟讲完后还要总结一下——一节课有什么好总结的呢？一个单元还差不多。总结时，又写了几黑板，全是汉字。没用啊！这里，我再插入一个典型的故事，也算笑话吧。我在中科大的时候，有一个县城的老师，想调到中科大附中。他试讲时，我也去听了。他一上讲台，就在黑板上写几个大字：“我今天的教学计划：1.组织教学，3分钟。”我心想：组织教学就组织教学，写在黑板上干什么呢？你不需要让学生知道，组织就是了。接下去，他又写：“2.引入新课，5分钟。”……一直写到“布置作业”为止。浪费了很多时间，讲课也啰里啰嗦。讲到还有10分钟的时候，才开始讲正题。那天讲的题目是，复数用三角式表示时怎么乘。这正是符合“一个法则、两个例题”的内容。法则就是“模相乘，辐角相加”，推导用到三角函数的恒等变换。这时，他发现时间不够了，可能有点慌，第一个例题竟然讲错了。第二个例题刚讲完，就打下课铃了，作业也来不及布置。

一节课，应当着重教真正的数学。我认为，15分钟就可以讲完了，就那一点关键的东西，不多。如果多了，学生肯定接受不了。

6、最后，说一点很高兴的事：桃李芬芳。

一辈子教书，教过中学，教过大学；教了数学，也教了点数学教育。学生很多，很多都比我强、比我好。我在中科大教过的一个学生，一个很厉害的学生，叫陈秀雄，他得到了数学界的两个大奖：维布伦奖和西蒙斯奖。而且，他不但自己做得很好，带的团队（包括他的学生以及学生的学生）也做得很出色。但是，没有人宣传他。我觉得这是很不可思议的事，我们对数学、数学家乃至科学、科学家的宣传太少了。

（本节内容选自《教育研究与评论》综合版2023年第7期）

(单墫教授演讲)

(单墫教授文选)

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