应用基本不等式求最值问题的齐次化方法及典型例题剖析

在一些比较复杂的基本不等式求最值的问题中，齐次化是一个很常用的方法，本文通过例题向读者介绍这种方法的基本思路和具体应用。

首先来看第一个较为简单的例题。

例题1：

分析：

这个问题中，求两项和的最小值且两项均为分式，不能直观地看到乘积为定值，因此无法直接使用基本不等式。注意到p+q为定值，而所求式的后一项分母为二次，想到利用已知条件，通过“1”的代换使其分子也成为二次式，这样就有希望凑出乘积为定值的情况。

下面给出详细的解答过程。

解：

这个题目中很好地应用了齐次化的思想，配凑出了基本不等式使用的条件——“积定和最小”！

下面再来看一个相对复杂一些的例题。

例题2：

分析：

这个题目也是分式形式，但是在分子上不但有常数项，还有一次项和二次项。如何才能应用齐次化方法呢？这里“1”不仅用于替换常数项，还需要作为一次项的一个系数来使用，这样就能够实现分子分母的齐次化了。这种处理方法其实在圆锥曲线中也是很常用的。

下面给出详细的解答过程。

解：

这个例题中，一次项乘以“1”值不变，但是“1”被替换为题给条件中的一次式，而常数项“1”则被替换为题给条件中一次项的平方，这样就很好地实现了“齐次化”。读者朋友可以仔细体会这一方法的妙用。

在圆锥曲线的一些处理与斜率有关的定点或定值问题中，齐次化也是一个常用的技巧，后续再分享相关的方法和典型例题。

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