三元基本不等式及其应用

三元基本不等式的形式如下：

这个基本不等式一般可用于证明题或求最值的问题。在求最值的问题中，一般需要结合必要的拆项或因式分解技巧。为了能够取到等号，拆项和分解因式就有讲究。

下面来看几个例题。

例题(2022数学乙卷23题)：已知a，b，c均为正数，且

分析：

第1问出现三元乘积，考虑使用三元基本不等式。第2问乘积项在二次根号下，右侧的分母乘到左边，左侧的分母用一次二元基本不等式即可。具体的证明如下。

证明：

(1)

(2)

下面再来看一个利用三元基本不等式求最值的问题。

例题：已知0<x<1，求函数f(x)=4x³-8x²+4x的最大值。

分析：

在0<x<1上求函数的最大值，可以通过配凑因式利用三元基本不等式。当然，这种方法并不是唯一的方法，其前提是构造出至少两因式相同、三个因式均为正数且三个因式之和为定值。

解：

上述解法过程中，配凑出(1-x)、(1-x)和2x三个因式均为正，且前两个因式相同，只需使其等于第三个，即可实现取等的条件。

注意：

配凑时一定要使得两项相同，如果配成(2-2x)、(1-x)和3x，前面再调整一个系数，这样三项之和也是常数，但无法获得取等条件了，因为前面两项在函数定义域内就不可能取等。

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