【原】【新乡市一中九年级培优】【综合与实践】

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试题内容

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|．

【数学理解】

(1)①已知点A(-2，1)，则d(O，A)=　　．

②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O，B)=3，则点B的坐标是　　．

(2)函数y=4/x(x>0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)=3．

(3)函数y=x²-5x+7(x>0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

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解法分析

第一问①

特殊值计算

点O为(0，0)，点A(-2，1)，代入公式d(O，A)=|0-(-2)|+|0-1|=3.

第一问②

方程思想

因为点B是函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象上一点，

所以yB=-2xB+4，

所以d(O，B)=|0-xB|+|0-yB|=xB+(-2xB+4)=3，

解得xB=1，

所以点B的坐标为：(1，2).

第二问

第一问②的类比迁移→方程思想

假设函数y=4/x(x>0)的图象存在一点C(a，b)，使d(O，C)=3，

因为b=4/a，

所以d(O，C)=|0-a|+|0-b|=a+4/a=3，

方程可变形为：a²-3a+4=0(a>0)，

因为△<0，所以此方程无解，

所以：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)=3．

第三问

第一问②、第二问的类比迁移→函数模型求最值

设点D的坐标为(m，n)，则n=m²-5m+7，

所以d(O，D)=|0-m|+|0-n|=m+m²-5m+7=m²-4m+7，

化为顶点式得：d(O，D)=(m-2)²+3，

所以当m=2时，d(O，D)取得最小值3，

此时点D的坐标为：(2，1).

第四问

类比迁移→函数图象求最值

设点P(x，y)为湖边一点，点M为(0，0)，L=d(M，P)，

即L的实际意义为修建道路的长度，

因为L=d(M，P)=|0-x|+|0-y|=x+y，

所以y=-x+L.

所以直线y=-x+L与y轴的交点纵坐标即为修建道路的长度.

以点M为坐标原点，MN所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

当直线y=-x+L与景观湖的边界相切时(切点为E)，L取得最小值，此时修建道路(MF+FE)最短.

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动态演示

蓝线的长度始终与L相等.

感谢

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赵予新

解法指导

刘雷震 王念友

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