【原】【新乡市一中九上月测15】【函数模型求最值】

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试题内容

如图,在矩形ABCD中，BC=6，cos∠CAB=(4/5)，P为对角线AC上一动点,过线段BP上的点M作EF⊥BP，交AB边于点E,交BC边于点F，点N为线段EF的中点，若四边形BEPF的面积为18，则线段BN的最大值为        . 

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解法分析

【知识储备】

对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半.

【建立函数模型】

设BN的长为y，BP的长为x，

∵∠EBF=90°，点N为线段EF的中点，

∴EF=2BN=2y，

∵四边形BEPF的面积为18，EF⊥BP，

∴(EF×BP)/2=18，即(2y×x)/2=18，

整理得：y=18/x；

∵当x>0时，y随x的增大而减小，

∴当x(BP)取得最小值时，y(BN)取得最大值；

【利用垂线段最短解决最值问题】

当BP⊥AC于点P时，BP取得最小值，

在直角三角形ABC中，BC=6，cos∠CAB=(4/5)，

∴AB=8，AC=10，

利用等面积法(或相似三角形或锐角三角函数)求得：BP=(24/5)，

当x=(24/5)时，y=(15/4)，

∴线段BN的最大值为(15/4).

一题多解请参考@钱老师的解题乐园

打卡：初三上月考 2020.12.25

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