【原】【2020浙江湖州中考试卷23】【轴对称】

1.试题内容

【2020浙江湖州中考试卷23】(10分)

已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处(不与点A，C重合)，折痕交BC边于点E．

（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=(1/2)AC；

（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6√2，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

2.解法分析

第一问

等边三角形

∵AC＝BC，∠C＝60°，

∴△ABC是等边三角形，∠A＝60°，

∵D是AB的中点，

∴DA＝DB，

由折叠的性质得：DB＝DP，

∴DA＝DP，

∴△ADP是等边三角形，

∴AP＝AD=(1/2)AB=(1/2)AC，

即AP=(1/2)AC.

第二问

等腰直角三角形

∵AC＝BC＝6√2，∠C＝90°，

∴AB=(√2)AC=12，

∵DH⊥AC，

∴DH∥ BC，

∴△ADH∼△ABC，

∴DH:BC=AD:AB=AH:AC，

∵AD＝7，

∴DH:(6√2)=7:12=AH:(6√2)，，

∴DH=AH=(7√2)/2，

将∠B沿过点D的直线折叠，

①当点B落在线段CH上的点P1处时，如上图所示，

∵AB＝12，AD＝7，

∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，

在直角三角形HDP1中，

根据勾股定理求得：HP1=(√2)/2，

∴AP1＝AH+HP1＝4√2;

②当点B落在线段AH上的点P2处时，如上图所示，

同理可得：HP2=(√2)/2，

∴AP2＝AH+HP2＝3√2，

综上所述，满足条件的AP的值为4√2或3√2．

第三问

等腰三角形

如上图所示，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵AC＝BC，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝(1/2)AB=6，

∴在直角三角形AHC中，

根据勾股定理求得：CH=8，

当DB＝DP时，设DB＝DP＝x，则AD＝12﹣x，

∵sinA=CH:AC=DP:AD，

∴8:10=x:12-x，

解得：x=(16/3)，

∴AD＝AB﹣BD=(20/3)，

观察图形可知：

当6<a<(20/3)时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．

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