【原】【2020浙江湖州中考试卷24】【参数坐标与平行四边形】

1.试题内容

【2020浙江湖州中考试卷24】(12分)

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x²+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．

(1)如图1，当AC∥ x轴时，

①已知点A的坐标是(-2，1)，求抛物线的解析式；

②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b²＝4c．

(2)如图2，若b＝-2，BC/AC=3/5，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

2.解法分析

第一问①

待定系数法求函数解析式

∵AC∥ x轴，点A的坐标是(-2，1)，

∴点C的坐标是(0，1)，

将点A(-2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，

得：-4-2b+c=1；c=1，

解得：b=-2，c=1，

∴抛物线的解析式为y＝-x²-2x+1；

第一问②

平行四边形+全等三角形/中点坐标公式

方法一

如上图所示：过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于点F，

∵AC∥ x轴，

∴EF＝OC＝c，

∵点D是抛物线的顶点坐标，

∴点D的坐标为(b/2，c+b²/4)，

即DE=c+b²/4，

∴DF＝DE-EF＝b²/4，

∵四边形AOBD是平行四边形，

∴AD＝BO，AD∥ BO，

∴∠DAF＝∠OBC，

∵∠AFD＝∠BCO＝90°，

∴△AFD≅△BCO，

∴DF＝OC，

∴b²/4=c，

即b²＝4c；

方法二

如上图所示：连接OD，交AB于点G，

∵AC∥ x轴，

∴yG=yC=c，

∵点D是抛物线的顶点坐标，

∴点D的坐标为(b/2，c+b²/4)，

∵四边形AOBD是平行四边形，

∴yG=(yD+yO)/2=c/2+b²/8，

∴c/2+b²/8=c，

即b²＝4c；

第二问

第一问②的类比迁移

存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形.

如上图所示：连接OD，交AB于点G，

∵b＝-2．

∴抛物线的解析式为y＝-x²-2x+c，

∴顶点D的坐标为(-1，c+1)，

假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，

则：AG=(1/2)AB，

设点A的坐标为(m，-m²-2m+c)(m＜0)，

∵BC/AC=3/5，

∴AC=(5/8)AB，

∴AG/AC=4/5，

∴xG=(1/5)xA=(1/5)m，

∴顶点D的坐标为(-1，c+1)，

∴xG=(xD+xO)/2=-1/2，

∴(1/5)m=-1/2，解得：m=-5/2，

∴点A的坐标为(-5/2，c-5/4)；

过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于点F，

过点A作AH⊥y轴于点H，交DE于点N，

易证：△AFN∼△ACH，

∵AH∥ x轴，

∴点H的坐标为(0，c-5/4)，N(-1，c-5/4)，

∴CH＝c-(c-5/4)=5/4，

∵点D的坐标为(-1，c+1)，

∴DN＝(c+1)-(c-5/4)=9/4，

同(1)②理可证：△AFD≅△BCO，

∴DF＝OC＝c，AF=BC，

∴FN＝DN-DF=(9/4)-c，

∵FN:CH=AF:AC=BC:AC，

∴((9/4)-c):(5/4))=3:5，

∴c=3/2，

∴yA=c-(5/4)=1/4，

∴点A的坐标为(-5/2，1/4)，

∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．

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