【原】【2020山东青岛中考试卷24】【动点与几何图形】

1.试题内容

【2020山东青岛中考试卷24】(12分)

已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，

BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，

沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t(s)(0＜t＜5)．

解答下列问题：

(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；

(3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式；

(4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2.解法分析

第一问

动点与线段的垂直平分线

∵AB∥CD，

∴△ECM∼△EBF，

∴CM:BF=CE:BE=(BE-BC):BE，

∴CM:6=(8-6):8，

∴CM=3/2，

由题意得：MQ=t，

∵当MQ=CM时，点M在线段CQ的垂直平分线上，

∴t=3/2，

∴当t为3/2时，点M在线段CQ的垂直平分线上；

第二问

动点与特殊四边形

在直角三角形ABC中，

AB=8cm，BC=6cm，

由勾股定理得：AC=10cm，

同理：EF=10cm，

∴sin∠1=3/5，

sin∠2=4/5，

在直角三角形ECM中，

∵CE=2cm，CM=(3/2)cm，

由勾股定理得：EM=(5/2)cm，

由题意得：AP=2t，

QF=EF-EM-MQ=(15/2)-t，

∵sin∠1=PH:AP，

sin∠2=QN:QF，

∴3:5=PH:(2t)，

4:5=QN:[(15/2)-t]，

∴PH=(6/5)t，QN=6-(4/5)t，

∵四边形PQNH是矩形，

∴PH=QN，

∴(6/5)t=6-(4/5)t，

∴t＝3；

∴当四边形PQNH为矩形时，t的值为3；

第三问

动点与图形面积

过点Q作BC的平行线，交BF于点N，交DC的延长线于点R，

则：QR⊥CM，QN⊥AF，NR=BC=6cm，

由(2)得：AP=2t，PH=(6/5)t，

由勾股定理得：AH=(8/5)t，

∴GC=HB=AB-AH=8-(8/5)t，

HF=AB+BF-AH

=14-(8/5)t，

由(2)得：QN=6-(4/5)t，

∴QR=NR-QN=(4/5)t，

∵S四边形QCGH=S梯形GMFH-S△HFQ-S△CMQ，

第四问

动点与角平分线

延长AC交EF于点S，

∵AB=BE，BC=BF，AC=EF，

∴△ABC≅△EBF，

∴∠E=∠CAB，

∵∠ACB=∠ECS，

∴∠ABC=∠ESC=90°，

∵sin∠2=4/5=AS:AF，

∴4:5=AS:14，

∴AS=56/5，

∴PS=AS-AP=(56/5)-2t，

∵PH⊥AF，PS⊥EF，

∴当PH＝PS时，点P在∠AFE的平分线上，

∴(6/5)t＝(56/5)-2t，

∴t=7/2，

∴当t=7/2时，点P在∠AFE的平分线上．

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