【原】【2020福建中考试卷25】【函数的图象和性质】【反证法】【面积最值】

1.试题内容

【2020福建中考试卷25】(14分)

已知直线l1：y=-2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=-2时，l2∥l1；

(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=-2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．

2.解法分析

第一问

二次函数的增减性→待定系数法求解析式

∵直线l1：y=-2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，

∴点A的坐标为(0，10)，点B的坐标为(5，0)，

∵BC=4，

∴点C的坐标为(9，0)或(1，0)，

∵对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2，

∴当x≥5时，y随x的增大而增大，

∴点C的坐标为(1，0)，

设二次函数的解析式为：y=a(x-1)(x-5)，

∵二次函数的图象过点A(0，10)，

∴10=5a，

∴a=2，

∴抛物线解析式为：y=2(x-1)(x-5)=2x2-12x+10；

第二问

反证法→平行线

当m=-2时，直线l2的解析式为：y=-2x+n，

∵n≠10，

∴直线l2与直线l1不重合，

假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)，

∴yP=-2xP+n，yP=-2xP+10，

解得：n=10，

∵n=10与已知n≠10矛盾，

∴假设“l1与l2不平行”错误，

∴l2∥l1；

第三问

建立函数模型→面积最值

如图，

∵直线l3：y=-2x+q过点C(1，0)，

∴0=-2×1+q，

∴q=2，

∴直线l3的解析式为：y=-2x+2，

∴l3∥l1，

∴CF∥AB，

∴△CEF∼△BEA，

∴(S△CEF/S△ABE)=(CE/BE)²，

设BE=t(0＜t＜4)，则CE=4-t，

∴S△ABE=(1/2)t×10=5t，

∴S△CEF=(CE/BE)²×S△ABE

=[(4-t)/t]²×5t=[5(4-t)²]/t，

∴S△ABE+S△CEF＝5t+[5(4-t)²]/t

=10t+(80/t)-40

=10[t-(4√2)+(8/t)+(4√2)]-40

=10[(√t)-(2√2)/(√t)]²+(40√2)-40，

∴当(√t)-(2√2)/(√t)=0，即t=(2√2)时，

△ABE与△CEF面积之和取得最小值，

最小值为：(40√2)-40．

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