【原】【旋转与特殊角】【半角模型】【特殊三角形】

   试题内容

1

山西中考试题

【阅读材料】

问题:如图1,在等边三角形ABC内,点P到顶点A,B,C的距离分别是3,4,5,求∠APB的度数. 

方法:由于PA,PB,PC不在同一个三角形中,为了解决本题,我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP'处,连接PP',此时,△ACP'≌     ,就可以利用全等的知识,进而将三条线段的长度转化到一个三角形中,从而求出∠APB=     °;

【类比探究】

如图2,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,D、E为BC上的点,且∠EAD=45°,求证:BD2+EC2= DE2;

【迁移应用】

如图3,在△ABC中,∠CAB=120°, AB=AC,∠EAD=60°,BC=3+√(3),当以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时,求BE的长.

2

解法分析

第一问

旋转→等边三角形/直角三角形

如图,把△ABP绕点A逆时针旋转60°,得到△ACP',连接PP',

则△ABP≌△ACP'，

∴AP'=AP=3，P'C=PB=4，∠APB=∠AP'C，

∵∠PAP'=60°，

∴△APP'为等边三角形，

∴PP'=3，∠AP'P=60°，

在△PP'C中，

PP'2+P'C2=PC2，

∴∠PP'C=90°，

∴∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=150°，

∴∠APB=150°.

第二问

半角模型→直角三角形

如图,把△ACE绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连接DG,

则△ACE≌△ABG，

∴AG=AE,BG=EC,∠1=∠C=45°,∠GAE=90°,

∵∠EAD=45°,

∴∠GAD=45°=∠EAD,

在△ADG和△ADE中,

AG=AE,∠GAD=∠EAD,AD=AD,

∴△ADG≌△ADE(SAS),

∴DE=DG,

又∵∠GBD=∠1+∠2=45°+45°=90° ,

∴BD2+BG2=DG2, 

即BD2+EC2= DE2.

第三问

半角模型→直角三角形→分类讨论

如图,将△AEC绕点A顺时针旋转120°,得到△AFB,连接DF,

则△AEC≌△AFB,

∴AE=AF,∠C=∠1,EC=FB,∠EAF=120°,

∵∠CAB=120°,AB=AC,

∴∠2=∠C=∠1=30°,

∴∠FBD=60°,

∵∠EAF=120°,∠EAD=60°,

∴∠EAD=∠FAD=60° ,

又∵AE=AF,AD=AD,

∴△ADE≌△ADF(SAS),

∴DE= DF.

∵以BD,DE,EC为边的三角形是直角三角形,

∴以BD,DF,FB为边的三角形是直角三角形,

∴△BDF是直角三角形,

①若∠BDF=90°,则∠BFD=30°,

∴BF=2BD=EC,DF=(√3)BD=DE,

∴BC=BD+DE+EC

=BD+(√3)BD+2BD

=(3+√3)BD=3+√3,

∴BD=1,

∴DE=√3. 

∴BE=BD+DE=1+√3;

②若∠BFD=90°,则∠BDF=30°，

∴BD=2BF=2EC,DF=(√3)BF=DE,

∴BC=BD+DE+EC

=2BF+(√3)BF+BF

=(3+√3)BF

=3+√3,

∴BF=1,

∴BD=2,DE=√3,

∴BE=BD+DE=2+√3.

综上所述,BE的长为(1+√3)或(2+√3).

————  e n d ————