中考备考 试题内容 问题提出: (1)如左图,在等腰直角三角形ABC中,以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFC,线段AF与线段BE的数量关系为 ; 深入探究: (2)如右图,将正方形DEFG绕点D在平面内旋转,连接AF,DF,BE,(1)中的结论是否有变化?请说明理由; 拓展延伸: (3)若AC=2,正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中,当点A,E,F在一条直线上时,直接写出线段BE的长. 第一问 AF=(√2)BE;(此问难不倒同学们,我就不证明了.) 第二问 结论无变化,理由如下: 连接BD、CD, 由题意得: CA=CB=CD,BC⊥AD, ∴△ACB、△DCB和△ABD都是等腰直角三角形, ∴∠BDA=45°,AD:BD=(√2), ∵△FED是等腰直角三角形, ∴∠EDF=45°,FD:ED=(√2), ∴ ∠BDA-∠BDF=∠EDF-∠BDF, 即:∠FDA=∠EDB, ∵AD:BD=FD:ED=(√2), ∴△FDA∽△EDB, ∴AF:BE=(√2), 即:AF=(√2)BE. 手拉手相似(全等)的核心是旋转中心【点D】,以此为切入点补全图形,问题可迎刃而解. 第三问 线段BE的长为(√6)-(√2)或(√6)+(√2). 作图部分: ①以点D为圆心,CD长为半径画圆; ②过点A作圆D的两条切线,切点分别为E1、E2; ③依题意补全图形,画出△DE1F1和△DE2F2. 计算部分: 如左图: 易证:DE1=E1F1=2, 在Rt△DE1A中,DE1=2,AD=4, 根据勾股定理得: AE1=2(√3), ∴AF1=AE1-E1F1=2(√3)-2, ∴BE1=AF1/(√2)=(√6)-(√2); 如右图: 易证:DE2=E2F2=2, 在Rt△DE2A中,DE2=2,AD=4, 根据勾股定理得: AE2=2(√3), ∴AF2=AE2+E2F2=2(√3)+2, ∴BE2=AF2/(√2)=(√6)+(√2). 当点A、E、F在一条直线上时,直线AE、直线EF、直线AF重合,问题解决的关键在于找到三条直线中,与动点运动路径位置关系最为特殊的直线【直线EF始终与圆D相切】,所以直线AE与圆D相切时,点A、E、F在一条直线上. |
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