直角三角形斜边中线定理
若∠ABC=90°，点O是AC的中点，
则BO=AC. 逆定理1
若点O是AC的中点，BO=AC，
则∠ABC=90°.
证明方法1：回归课本
延长BO至点D，使DO=BO，连接AD、CD.
∵AO=CO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BO=BD，BO=AC，
∴BD=AC，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°. 
证明方法2：中位线
取AB的中点D，BC的中点E，连接OD、OE、DE.
根据中位线定理得：
OD∥BC，OE∥AB，DE=AC，
∴四边形BEOD是平行四边形，
∵DE=AC，BO=AC，
∴DE=BO，
∴平行四边形BEOD是矩形，
∴∠ABC=90°. 
证明方法3：双等腰三角形
∵AO=CO=AC，BO=AC，
∴AO=BO=CO，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°. 
证明方法4：三线合一
∵点O是AC的中点，
∴AO=AC，
又∵BO=AC，
∴AO=BO，
作OD⊥AB于点D，
∴点D是AB的中点，
又∵点O是AC的中点，
∴DO∥BC，
∴∠ABC=∠ADO=90°. 
证明方法5：隐圆
∵AO=CO=AC，BO=AC，
∴AO=BO=CO，
∴点B在以点O为圆心，AC为直径的圆上，
∴∠ABC=90°. 逆定理2
(点O是AC上一点)
若∠ABC=90°，BO=AO，
则点O是AC的中点，BO=AC.
证明方法：余角
∵BO=AO，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4，(等角的余角相等)
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴点O是AC的中点，BO=AC. 逆命题
(点O是AC上一点)
若∠ABC=90°，BO=AC，
则点O是AC的中点.
此命题不一定成立.
反例：
如图，以直角顶点B为圆心，AC长为半径画圆，交AC于点O、O.
此时，∠ABC=90°，BO=AC，
但点O不是AC的中点.
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