①经过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦；
④平分劣弧；
⑤平分优弧.
垂径定理(①②⇒③④⑤)
若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，则CE=DE，=，=. 推论1(①③⇒②④⑤)
若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦(非直径)，AB经过CD的中点E，则AB⊥CD，=，=. 证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵OC=OD，点E是CD的中点，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴=，=.(垂径定理) 推论2(①④⇒②③⑤)
若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB、CD交于点E，=，则AB⊥CD，CE=DE，=. 证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵=，
∴∠BOC=∠BOD，
又∵OC=OD，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴CE=DE，=.(垂径定理) 推论3(①⑤⇒②③④)
若AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB、CD交于点E，=，则AB⊥CD，CE=DE，=. 证明方法：三线合一
连接OC、OD.
∵=，
∴∠AOC=∠AOD，
∴∠BOC=∠BOD，
又∵OC=OD，
∴OE⊥CD，即AB⊥CD，(等腰三角形三线合一)
∴CE=DE，=.(垂径定理) 推论4(②③⇒①④⑤)
若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，CE=DE，则AB为圆O的直径，=，=. 证明方法：线段垂直平分线的判定定理
∵AB⊥CD于点E，CE=DE，
∴AB垂直平分线段CD，
连接OC、OD，
∵OC=OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
即：AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=，=.(垂径定理) 推论5(②④⇒①③⑤)
若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，=，则AB为圆O的直径，CE=DE，=. 证明方法：三线合一
连接BC、BD，
∵=，
∴BC=BD，
又∵BE⊥CD于点E，
∴CE=DE，(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理) 推论6(②⑤⇒①③④)
若AB、CD为圆O的弦，AB⊥CD于点E，=，则AB为圆O的直径，CE=DE，=. 证明方法：三线合一
连接AC、AD，
∵=，
∴AC=AD，
又∵AE⊥CD于点E，
∴CE=DE，(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理) 推论7(③④⇒①②⑤)
若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，CE=DE，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，=. 证明方法：三线合一
连接BC、BD，
∵=，
∴BC=BD，
又∵CE=DE，
∴BE⊥CD，即AB⊥CD，
(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理) 推论8(③⑤⇒①②④)
若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，CE=DE，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，=. 证明方法：三线合一
连接AC、AD，
∵=，
∴AC=AD，
又∵CE=DE，
∴AE⊥CD，即AB⊥CD，
(等腰三角形三线合一)
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
又∵AB⊥CD，
∴=.(垂径定理) 推论9(④⑤⇒①②③)
若AB、CD为圆O的弦，两弦交于点E，=，=，则AB为圆O的直径，AB⊥CD，CE=DE. 证明方法：线段垂直平分线的判定定理
连接AC、AD、BC、BD，
∵=，=，
∴AC=AD，BC=BD，
∴点A、B在线段CD的垂直平分线上，
即：AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，CE=DE.
与推论4同理，可证：
AB为圆O的直径.
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