23年中考压轴真题，旋转、四点共圆、平行线分线段成比例，入手较难

这是一道今年辽宁的中考填空压轴真题，入手较难。

【分析】

依题意，△ADM≌△ABN（旋转性质）

所以 ∠NAB=∠MAD，AN=AM=25/3

又AF=AE，∠NAM=90°（△ADM顺时针旋转90°得到）,

所以△FAE是等腰直角△，

所以∠AFE=∠AEF=45°

又BD是□ABCD的对角形，故∠ABD=∠ADB=45°，

依题意，在△FAB和△EAD中，AF=AE=BC（已知条件），

∠NAB=∠MAD，AB=AD=BC

△FAB、△EAD都是等腰三角形，△FAB≌△EAD，△FAB和△EAD

所以∠AFB=∠ABF=∠ADE=∠AED

如上图，A、F、B、G四点共圆，（△AFG和△ABG，共底边AG、同侧、共顶角∠AFE=∠ABD=45°）

易证∠GAB=∠GFB

A、D、E、G四点共圆，（△AEG和△ADG，共底边AG、同侧、共顶角∠AEG=∠ADG=45°）

易证∠GAE=∠GDE

而已证∠AFB=∠ADE

又：∠AFB=∠GAB + ∠AFG=∠GAB + 45°

∠ADE=∠GDE + ∠ADB =∠GDE   + 45°

所以∠GAB =∠GAE ，即AH是∠BAE的角平分线。

∠AHB=∠DAH（AD∥BC，内错角相等）

而∠DAH=∠MAD + ∠GAE  = ∠NAB+ ∠GAB = ∠NAH

所以△ANH是等腰△，故AN=NH=AM=25/3

这是本题最为关键的关键之处了。

【求解】

设正方形边长为a，已知CH=2，则BH=a-2,

BN=NH-BH=31/3 - a

AN=AM=25/3

在Rt△ABN中，由勾股定理 可得 AN² = AB²+BN²

代入可求得a=8，或a=7/3 （经检验，不合题意，舍掉)

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如上图，过点G做GP⊥AB，

前已确定 ∠ABD=45°，故设PG=x，

则BP=x，AP=8-x

由△APG∽△ABH （平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例）

所以PG/BH=AP/AB，

可求得x=24/7，

所以AP=AB-BP=32/7

在Rt△APG中，由勾股定理可求得

AG=√(AP²+PG²) = 40/7

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【小结】

旋转必有全等。两三角形共底边、同侧、等定角，则有四点共圆。

这道题，条件藏的比较深，值得用心揣摩。