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最近，一部以网络诈骗为背景的电影《孤注一掷》爆火，影片取材自上万例真实案件，讲述了程序员潘生、模特梁安娜被海外高薪招聘吸引，出国淘金，却意外落入境外诈骗工厂陷阱的故事。看过的小伙伴不知是否还记得影片开头提到的凯利公式，它很好地诠释了赌徒迷信的是运气，赌场相信的却是数学。一个痴迷于发财梦的赌徒永远不明白，与自己对赌的不是运气，也不是庄家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的数学大师。今天，我们就来聊聊为什么说你永远赢不了“凯利公式”？  凯利公式的前世今生 凯利于1923年出生在美国德克萨斯州，1953年获得物理学博士学位后，去了号称诺奖批发部的贝尔实验室工作。在贝尔实验室中，他认识了好友兼同事，著名信息论创始人的克劳德·香农。1956年凯利受到香农信息论的启发，在《贝尔技术系统期刊》中发表了一篇名为《对信息传输速率的新解释》的论文。然而这并不是论文原来的标题，原标题更有意思，叫《信息论与赌博》。因为公司高层觉得这样的标题有损公司道德形象，才被迫他换了一个新名字。但凯利的初衷确实是以一个棒球比赛的赌徒视角，去思考如何合理押注才能让资产得到最大指数的增长。虽然标题不严肃，但论文的证明过程却相当严谨。凯利公式正是在这样的背景下提出来的，它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。  凯利公式长啥样  上面这个式子便是凯利公式的庐山真面目，在公式中，各参数代表的意义为： f=应投注的资本比值； p=获胜的概率； q=失败的概率，即1-p； b=除去本金外计算的赔率。 公式上面的分子bp-q代表“赢面”，数学中也叫“期望值”。什么才是不多不少的合适赌注呢？凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例才能长期获得最高盈利。看完这个公式你可能还有点懵，下面我们来举个例子。 假如甲乙两人玩投骰子游戏，投到1、2、3甲赢，投到4、5、6乙赢，每次游戏下注10元。赢了拿走30元，输了就没有钱拿。那么，对于双方来说： p=0.5；q=0.5；b=  ； 如果你有100元钱，根据公式：f= [（2*0.5）-0.5] /2 = 25% 也就是说，在这种胜率下，你可以投25元钱试试手气最合理。赌场的操盘者在每一次下注时，都会谨记数学原则，而作为普通的赌徒，除了心中默念“菩萨保佑”外，哪里知道这后面的数理知识。所以，就算你赢得了财神爷的支持，但你也永远赢不了“凯利公式”。  看得到的是概率，看不见的是陷阱 我们知道，大量重复的随机现象背后，其实藏着某种必然规律，这也许就是我们这个世界的潜在规律和运行法则。以抛硬币为例，当投掷次数足够大时，出现正（反）面的频率将逐渐接近于1/2，且随着投掷次数的增加，偏差会越来越小，如下图。这是最早发现的大数定律之一。  掷硬币频率分布图 从表面概率看，这确实是场公平的游戏。但这种公平是有一定条件的。大数定律讲究“大量重复的随机现象”，只有足够多次试验才能使得硬币正反面出现次数与总次数之比几乎等于1/2。可具体多少次才算“足够多”？才能够把它用在个人对赌上？没有人知道。因为，概率论给出的答案是——无穷大。把“大数定律”当“小数定律”，觉得游戏是无条件“公平”的，正面和反面出现的频率都为1/2。这种在潜意识里被奉为圭臬的“公平”，紧接着让你踏入了第二个误解——“赌徒谬误”。  赌场谬误的来源是因为将前后互相独立的随机事件当成有关联而产生的。怎么样算是独立的随机事件呢？比如说，抛硬币一次，是一个随机事件；再抛一次，是另一个随机事件。两个事件独立的意思是说，第二次的结果并不依赖于第一次的结果，互相没有关联。道理容易懂，但有时仍会犯糊涂。比如说，当你用硬币接连抛了5次正面，到了第6次，你可能会认为这次正面出现的概率更小了（＜1/2），反面出现的概率更大了（＞1/2)。也有人是逆向思维，认为既然5次都是正面，也可能继续是正面(也被称为热手谬误)。实际上这两种想法，都是掉进了“赌徒谬误”的泥坑。也就是说，将独立事件想成了互相关联事件。  数学家爱德华·索普（Edward Thorp）曾经应用凯利公式，在赌场赚了几十万美元，并且写了一本名为《击败庄家》的书。但是赌场也不傻，不会坐以待毙，把索普列入黑名单，并修改了21点游戏的规则，于是重新确立概率优势。由此看来，对我们普通人来说，要想真正赢得人生这场赌局，法则只有一个：不赌。  |
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