把数学“画”明白（第1期）

　　有人这样形容小学数学的学习过程：

简单 → 复杂

记忆 → 理解

直观 → 抽象

被动 → 主动

……

　　也有人说，学生学六年数学要达成：感悟思想、积累经验、发展思维。

　　这些说法都对！

　　只是，要实现目标，在这六年漫长的学习过程中，对教师的“教”与学生的“学”是一场大考验。若教师不专业、无教法，学生没规矩、缺习惯，其实许多孩子在六年学习过程中的收获差距巨大。“老林家”执着于探索合适的“教”与“学”方式，就是想把这个“差距”缩短一些，再缩短一些……

　　拿“直观到抽象”这个过程来说，它与新课标中提到的几大核心概念有关：数感、符号意识、空间观念、几何直观、模型思想。其中关系相对更大、更常提及的是：“几何直观”。

　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果。简单来说，几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的思考力。

　　怎样培养这种思考力？

　　最直接，也是最有效的方式：画图！

　　重视培养学生的画图能力是小学数学老生常谈的话题了。这方面的经验、论述有很多，但学生画图能力的培养是个漫长的过程，它不是偶尔一次好的公开课、几次有所表现的案例或经验就能实现的。我们经常发现，许多到了高年级的学生依然不会借助画图思考解题方法，学生既没有这样的意识，也缺乏相应的能力。

　　原因何在？仔细回想，其实教材（人教版）中有关画图能力培养的素养比较零碎，如果我们没有系统地把握、有针对地渗透，学生的画图能力就难以得到有效的提升。

怎样培养学生的画图能力？

我们先理一理：

　　画图画图，“画”指什么？“图”指什么？

　　关于“画”的动作，泛指学生在进行各类画图操作中用到一个或多个动作：如 “圈”、“涂”、“描”、“连”、“画”、“标”等。

　　关于“图”的类型，我们这样分：

　　1．概念图。指用数字、字母、符号或图形表示数学概念本质属性的图示。学生在小学阶段对词语的理解还不够丰富或不够严谨，要理解文字描述的概念会比较抽象，而用画图的形式可以增进学生对概念的理解。如画直线射线、画各类图形、画平行与垂直、画分数等。

　　2．示意图。指用数字、字母、符号或图形表征数学信息、图形特征、数量关系或思考路径的图示。在此泛指小学数学中常见的格子图、关系图、分析图、简单平面图和流程图等，如表示搭配方法的连线图、合理安排时间的流程图、等底等高的圆柱和圆锥的关系图、用两个完全一样的三角形拼成平行四边形的组合图等。

　　3．线段图。指由几条线段组合在一起，用来表示生活中实际问题中的数量关系，以助分析题意及解题的一种图示。（注：由于线段图在小学数学中份量较重，故单独分为一类）

我们来试一试

　　一、常态渗透

　　作为一线教师很清楚学生拥有画图能力的重要性，但要想让学生自觉拿起“画图”这个思考利器并不是一朝一夕能达成的。我们须从日常点滴教学中渗透画图能力训练，在每次运用时不断总结画图经验。

案例：

▲三年级上册《万以内数的加法和减法》教材练习

▲三年级上册《倍的认识》教材练习

▲五年级上册《小数乘法》课后练习

▲五年级上册《小数除法》教材练习

　　二、强化训练

　　在常态渗透的基础上，根据每册教材的学习内容定制两份画图专项练习：基础练习、提高练习。基础练习用以唤醒画图认知、尝试画图操作，为学期相关知识的学习作好铺垫，一般于开学初期使用。提高练习用以巩固画图操作、提升画图技能，强化几何直观，一般于期末复习时使用。

案例1：三年级上册“画数学”基础练习

（设计：李燕娜）

设计意图+练习反思：

　　第1题是为即将学习的第一单元的“分米”做准备，内容是让学生运用二年级掌握的方法，测量一条长9厘米的线段，再要求对比画出一条长10厘米的线段。此题既复习了画指定长度线段的方法，也提前感知1分米的长度。练习的情况显示，大部分的学生能够做对，只有个别学生没有画出线段的两个端点。

　　第2题参考了教材18页的第12题。此题有一定开放性，对于三年级的学生，需要借助线段图才能更好地理解其中的两种情况。考虑学生在之前的学习中，画图的机会比较少甚至没有，大部分学生还停留在只会看示意图，而不会根据文字画图的阶段。笔者将题目中的问题简单化，让学生既“够得着”也“有所得”。本题设计让学生用模仿画的方式初步体验用线段图表示距离。在练习反馈来看，大部分学生能把线段图画完整，但也有一部分学生画的线段图不完整。

　　第3题专为第五单元“倍的认识”作铺垫。通过数一数、圈一圈、画一画的方式让学生在“图”中体验“以这样为一份“、“一共有几份”以及“谁比谁多几份”，初步感受“几个几”。由于操作难度不高，学生完成度较好，只有个别学生在做第（2）小题时，没有按“一份”把图形分开来画。

　　第4题是从书本P55第11题熊妈妈和熊宝宝分玉米改编而来。原题情境很有趣，但较为复杂，学生理解起来会有一定困难，需要借助画图来解答。此题设计成较简单的分糖情境，并配以直观的示意图，引导学生借助示意图把分糖过程直观化，从而找到解题方法。从练习反馈看出，虽然画图方式和细节各有不同，但大部分学生都能借助示意图成功解题。

　　第5题是为铺垫第七单元“长方形和正方形”的学习而设计，让学生根据已有经验在点子图上分别画出两个不同的长方形和正方形，既训练学生的画图能力，也唤醒对两种常见图形的认识，画的过程就是感知图形特点的过程。通过练习可知，画出两个不同的长方形和正方形对学生来说还是比较轻松的。只是有学生提出疑问：什么叫“两个形状不一样的正方形”？笔者反思题目的设计应改为：“画两个形状不一样的长方形和两个大小不一样的正方形”。

　　第6题按要求将图形分一分、涂一涂或圈一圈，为本学期即将学习的“分数初步认识”作铺垫。笔者考虑到学生已经学习了将一些物体平均分成几份，所以可以尝试让学生将简单的图形平均分，同时将其中的几份涂上颜色。“分”、“涂”或“圈”的过程就是体验“平均分”、“一共有几份”和“其中几份”的过程，既训练画图能力，也提前为认识几分之几作准备。从练习反馈看出，几乎全班学生都能够按要求正确将图形平均分并涂出相应的份数。

案例2：五年级上册“画数学”基础练习

（设计：林少暄）

设计意图+练习反思：

　　第1题是关于第一单元小数乘法最后一个课例《解决分段收费问题》的铺垫性练习。设计让学生尝试画示意图或线段图分析题意，再解答，体验画图解题的过程。笔者任教的班级，大部分学生选择了画线段图，线段图又各有不同，有学生用一段表示3km，用稍长的一段表示4km，并标注收费信息。有学生用1cm的线段表示1km，更清晰具体。还有个别学生选择了画示意图，用大括号把7km分成3km和4km两部分，再分别标注收费信息，以此理解题意。本班绝大部分学生都能在画图的基础上正确解答。

　　第2题是结合教室情境，让学生在平面图上找准位置。训练学生补完平面图信息、观察辨别和涂色的操作能力。此题除个别学生没有补完列数、行数和涂色随意外几乎全对。

　　第3题，参考第四单元的教材练习，设计让学生按要求涂色，感受随机事件发生的可能性大小。从练习反馈来看，虽然做这份练习时，学生还没有学习有关“可能性”的知识，但基本都依据生活经验进行推理，判断涂色，但考虑是铺垫练习，要求改为涂两种颜色更合适。

　　第4题是平行四边形、三角形和梯形的画高练习，用以复习“高”概念和画高的方法。练习时，中间两个图的错误率较高，说明学生对什么是高以及画高的方法掌握不理想，需要补强。

　　第5题针对第六单元多边形的面积而设计。通过画等底等高但形状不一样的平行四边形、把平行四边形分成两个完成一样的三角形和梯形复习几种常见图形的特征，为探究平行四边形、三角形和梯形的面积计算作铺垫。从练习反馈来看，第（1）小题，部分学生由于无法辨清底和高而导致画图错误。第（2）小题错误率更高，相当部分学生不能在格子图的帮助下找到划分方法。

　　第6题设计了三个不规则图形，要求学生拆分成认识的规则图形，为学习组合图形的面积计算作铺垫。有了四年级认识四边形的基础，学生基本都会做。

　　第7题和第8题都为提升画线段图的能力而设计。第7题，素材源于第一单元有关小数倍的乘法练习，设计给出线段图的一部分，要求学生画完整并根据线段图列式估算，既体验画图解题，也突显倍数关系、培养数感。第8题，素材源于第五单元简易方程中的相遇问题，同样要求学生把线段图画完整，借助画图理解相遇问题的数量关系。从练习反馈来看，完成情况两极分化。如上图，有一定画图能力的学生能根据信息把线段图补充完整，信息、问题和线段的绘制都比较精准，而画图能力较弱且不能理解题意的学生在补充线段图时遇到了困难，如线段长短不合、标示信息缺失等。

　　第9题是简化的植树问题（两端都栽），目的让学生自主尝试，借助画示意图分析题意并解答。让笔者感到意外的是，此题完成度比较高，许多学生都能用比较简洁的方式画出示意图，也能从图中辨别要“+1”算出棵数。

我们的坚持：

不只是教材要求的才画，

教材没有要求的也可以画，

不只是上课时才要求画，

上课后练习时作业时也画，

长期关注、细心选材、耐心引导，

精心定制、坚持训练、提升能力！

小学数学教学，“老林家”偏执于：

Interest　　兴趣——兴趣是一点点感悟培养的。

Experience 体验——体验是一次次尝试积累的。

Foundation 基础——基础是一个个知识筑就的。

Develop　  发展——发展是一回回思索促成的。