抽屉原理是小学奥数、初中入学分班考、奥数竞赛等场合经常会遇到的一类题型。整体上来说，对于普通孩子，遇到这类题容易拉分数，原因在于原理本身太抽象，应用五花八门，考场思考时间有限，很多孩子选择了放弃。其实，只要看过这篇，往后这类题就是你的得分点了！ 一、抽屉原理的表述 1.将多于n个苹果任意放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中的苹果个数不少于2个。（最常用到） 2.将多于m*n个苹果任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的苹果个数不少于m+1。（1理解了，这个就不难） 3.将无穷多个苹果任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中有无穷多个苹果。（考试中不太会用到） 我们对原理1稍作分析： 有了1打底，原理2就好理解了。 通常，使用抽屉原理的题目，题中都会出现“至少……”“总是……”的表示，这种表述换句话说，就是“即便是出现最不利的情况，也能够满足……”。比如，“已知参赛者中任何10人里都至少有一名男生”，就等于“我已经尽我最大努力选女生了，还是不可避免的要选一名男生”；“至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52”，就等于“我尽量避免每次取出的数和已取的数相加等于52，直到取到第多少个数时，这种情况就无可避免了”。 我们先带着“找最不利情况”的思路看几道题。 例1. 30名学生参加数学竞赛，已知参赛者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有（）人。 分析：“至少有1名男生”，最不利的情况是只有1名男生，那么对应的女生人数是9，男生人数至少有30-（10-1）=21人。 例2. 一副扑克牌有54张，至少抽取（）张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同点数。（大小鬼不相同） 分析：按照最不利的情况设想，假设每次取出的扑克牌点数都不相同，最多一共可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，J,Q,K,小鬼，大鬼，15张不一样点数的牌，那么当取第16张时，一定会与之前的某一张点数相同。答案16。 这两道题的最不利情况相对简单，我们再看看下面这道题。 例3. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有2个人取的球颜色相同。由此可知，参加取球的至少有（）人。 分析：这道题我们的研究对象是球的颜色的组合。最不利情况是，前面大家取的球颜色各不相同，摸出2个球，两球颜色组合一共有15种，（红、红），（黄、黄），（白、白），（蓝、蓝），（绿、绿），（红、黄），（红、白），（红、蓝），（红、绿），（黄、白），（黄、蓝），（黄、绿），（白、蓝），（白、绿），（蓝、绿）共15种，前面15个人各摸了一种情况，第16个人摸的时候，必然会和前面的15个中的一个情况是一样的。所以参加取球的至少有16个人。填16。 例4. 现在有64个乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球（最少也要放1个乒乓球），至少有（）个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同。 分析：这道题的研究对象是乒乓球盒子里的乒乓球数目。按照最不利原则，前面1-6个乒乓球盒子里的乒乓球个数互不相同，最少1个，最多6个，一共装了21个球，第7-12个盒子的情况也一样，也分别为1-6个球。第13-18个盒子也一样。这样撞完以后，一共装了63个球，此时有3个盒子的乒乓球数目是一样多的，而第64个球算上以后，则应该有4个盒子装的乒乓球数量一样多。填4。 这道题看上去用到了原理2，但实际上，只要我们按照最基本的“最不利情况思路”来分析，一样能很快得到答案。所以，原理很抽象，遇到具体题目时，最深刻最便捷的还是抽屉原理本身带给我们的思考问题的思路。 对于更加复杂的题，我们就需要分析什么是“抽屉”，什么是“苹果”，然后再来看取或者放苹果的时候，那个n+1的情况是怎么发生的。 为了便于分析，我们可以把常见的题目分成六类。 （1）找最不利情况 （2）排列组合问题 （3）数列问题 （4）间隔问题 （5）面积问题 （6）表格问题 其中，找最不利情况的例题我们已经提到了，排列组合问题也初步涉及，我们再来看一道。 （2）排列组合问题 例5. 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，试说明，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样。 分析：对照抽屉原理概念1的表述，“总有两个小朋友”对应的是“苹果”，“两个球的颜色的组合”是抽屉。 两个球的颜色组合一共有（红、黄），（红、蓝），（黄、蓝），（红、红），（黄、黄），（蓝、蓝）6种，相当于一共有6个“抽屉”，7个小朋友相关于是7个“苹果”，7个“苹果”放在6个“抽屉”里，至少有1个“抽屉”里有不少于2个“苹果”。也就是说，至少有2个小朋友取出的球的颜色的组合是一样的。 总结：首先是识别题目类型，排列组合类问题最大的特点是题目中有“摸”、“涂色”之类字眼，可能性来自于人的操作。看清题，仔细列出所有的可能性，一般可能性都不会太复杂，枚举就可以完成。 （3）数列问题 例6. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12中至多选出多少个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。 分析：把这12个数分成6个组：{1、2、4、8} ；{3、6、12} ；{5、10} ；{7}；{9}； {11}。每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系。 选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1、4或2、8或1、8），第2组最多2个（3、12），第3组只有1个，第4、5、6组都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8个。 这道题的“抽屉”和之前的都不太一样，我们发现，不是每个“抽屉”里能取出的“苹果”个数都是一样的。也就是说，所谓“抽屉”，就是为了让我们能对研究对象进行分类，以便于按照最不利的情况来取“苹果”。 例7. 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。 分析：对照抽屉原理的表述，“选出的数”对应的是“苹果”，“具有倍数关系的数的组合”是“抽屉” 。把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：{1、2、4、8、16}；{3、6、12}； {5、10、20}；{7、14}；{9、18}；{11}；{13}；{15}；{17}；{19} 前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系。从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求。 例8. 从1、2、3、……、99、100这100个数中任意选出51个数。证明：（1）在这51个数中，一定有两个数互质；（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；（3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1。 证明（1）. 构造互质的数的组合（“51”提示，可以构造50对），相邻的数互质。将这50组相邻数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质。而现在取51个数，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数互质。 证明（2）.构造差等于50的数对，（1、51），（2、52），（3、53），（4、54），……，（50、100），正好50组。将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数差等于50。而现在取51个数，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数相差50。 证明（3）将1-100按2的倍数、3的奇数倍数、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有（2、4、6、8、……、98、100），（3、9、15、21、27、……、93、99），（5、7、11、13、17、19、23、……、95、97）这三组。第一、二、三组分别有50、17、33个元素。 最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二组内，那么至少有9个数在同一组。所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1。 例9. 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻的两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 这道题应该是本篇内容中最难理解的一道，抽屉的构造、选数的方式，都非常难理解，需要慢慢体会，也可以先跳过不看。 分析：将1-49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1*2）、（1*3）、（1*4）、……、（1*49） （2*3）、（1*4）、……、（2*49） …… （8*9）、（8*10）、（8*11）、（8*12） （9*10）、（9*11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18*2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10*9）、（9*11）、（1*8）、（8*12）、（12*7）、（7*13）、（13*6）、（6*14）、（14*5）、（5*15）、（15*4）、（4*16）、（16*3）、（3*17）、（17*2）、（2*18）、（18*1）、（1*10）。共出现1-18号，共18个孩子。 若随意选出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。 那么在9组中取出19个数时，有19=9*2+1，由抽屉原理可知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的，故最多挑出18个孩子。 例10. 从1、2、3、4、……、1988、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，其中每两个数的差不等于4。 分析：构造差等于4的数列 {1、5、9、……、1989}（498个数） {2、6、10、……、1986}（497个数） {3、7、11、……、1984}（497个数） {4、8、12、……、1988}（497个数） 第1组中最多可以取249个数，第2组最多可以取249个数，第3组最多可以取249个数，第4组最多可以取249个数，一共可以取996个数。 在数列问题部分，我们思考一个问题：抽屉的构造方式是唯一的吗？ 分析2： 每8个连续自然数中，最多只能取四个数，其中每两个数的差不等于4. 把1989个数依次每8个分成一组，最后5个数也成一组，即 {1，2，3，4，5，6，7，8} ； {9，10，11，12，13，14，15，16；} …… {1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984} {1985，1986，1987，1988，1989}； 1989÷8 = 248……5 因此可以分成249组，每一组都取前4个数，这样共取出数 249×4 = 996（个） 可以看出，“抽屉”的构造方法不是唯一的。 总结 ：数列问题很好识别，题目一般会要求按照某种规则取数。 取数的方法不是唯一的，重点在于理解例题取数的基本思路。一般来说，取数的方法和题目给的规则相关，要按照规则找出一种方法，能够不交叉地覆盖所有的数；同时，注意在这些自己设计的“抽屉”里取“苹果”的时候，有时并不是一个“抽屉”只能取一个“苹果” 。
例11. 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。 分析：把这条小路分成每段1米长，共100段每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果，于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段有两棵或两棵以上的树。那么，这两棵树的距离不超过1米。 仔细思考，这段说理够严谨吗？问题出在哪里？题目中需要论证的是“距离不超过1米”，也就说距离小于1米或等于1米，那么，这个“等于1米”的情况在我们构造的“抽屉”中会出现吗？间隔问题的特殊之处在于，我们构造的“抽屉”是个线段，需要对端点问题进行解释。 如果两棵树恰好都种在端点处，则恰好距离1米，反之，两棵树的距离必然小于1米。因此，至少有两棵树的距离不超过1米（小于或等于1米）。 加上上面这一段，结论就更加清晰了。 例12. 在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米。 分析：第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离）。第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花。现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这说明必有两盆花之间的距离小于2米。 总结：间隔问题一般都比较容易，只要确定间隔就可以通过简单的说理完成。需要注意的是端点处的表述。如果题目给的结论包含了取到端点的情况，那就在具体说明时针对这种特殊情况进行描述，这样可以使解答更加严谨。 （5）面积问题 例13. 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 分析： 将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”，有：28÷9=3……1，则必有一个小正方形里（上）至少有3+1=4（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积为1平方米。综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 例14. 在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点三角形的面积不超过0.125。 分析：用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形，我们把四个面积为0.25的正方形看成4个抽屉，9个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125。 总结：面积问题是间隔问题的“升级版”，难点在于分割图形。一般来说，这类问题通常可以通过判断总面积和部分面积之间的倍数关系来确定如何分割。 例如，在5-1中，正方形面积9平方米（边长3米），问句里的面积是1平方米，那么考虑把正方形分成9÷1=9等份。同理可以分析5-2，需要注意的是正方形面积和三角形面积公式差0.5倍，这样1÷0.125=8等份，这是三角形的份数，对应的需要转换为正方形，即4等份。 与间隔问题类似，说理时注意表述取顶点时的情况。 （7）表格填数问题 例15. 在8*8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1-4四个自然数的任意一个，填满后对每个2*2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 分析：先计算出在8*8的方格中，共有2*2“田”字形：7*7=49个，在1-4中任取4个数（可以重复）的和可以是4-16中之一，共有13种可能，根据抽屉原理：49÷13=3……10，至少有3+1=4个“田”字形内的数字和是相同的。 例16. 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2,3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以证明。 分析：大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和最小是10，最大是30。因为从10到30之间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看做21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的数字和共有22个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同是不可能的。 总结 ：表格问题类似于排列组合问题，只是“抽屉” 是由不同排列组合的数构成的，重点是确定和的最小值和最大值，以及这个数列的公差，这样就能知道一共有多少个抽屉。那么，表格按照各种规则求和（比如例题中的“田字求和”“行、列、对角线求和”）时对应的和的个数，如果大于抽屉数，则必然有两组相同。 抽屉原理是小学奥数、初中入学分班考、奥数竞赛等场合经常会遇到的一类题型。整体上来说，对于普通孩子，遇到这类题容易拉分数，原因在于原理本身太抽象，应用五花八门，考场思考时间有限，很多孩子选择了放弃。 其实，只要看过这篇，往后这类题就是你的得分点了！ 接着上篇，继续分析另三类常见题型。 （4）、间隔问题 例11. 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。 分析：把这条小路分成每段1米长，共100段每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果，于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段有两棵或两棵以上的树。那么，这两棵树的距离不超过1米。 仔细思考，这段说理够严谨吗？问题出在哪里？题目中需要论证的是“距离不超过1米”，也就说距离小于1米或等于1米，那么，这个“等于1米”的情况在我们构造的“抽屉”中会出现吗？间隔问题的特殊之处在于，我们构造的“抽屉”是个线段，需要对端点问题进行解释。 如果两棵树恰好都种在端点处，则恰好距离1米，反之，两棵树的距离必然小于1米。因此，至少有两棵树的距离不超过1米（小于或等于1米）。 加上上面这一段，结论就更加清晰了。 例12. 在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米。 分析：第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离）。第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花。现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这说明必有两盆花之间的距离小于2米。 总结：间隔问题一般都比较容易，只要确定间隔就可以通过简单的说理完成。需要注意的是端点处的表述。如果题目给的结论包含了取到端点的情况，那就在具体说明时针对这种特殊情况进行描述，这样可以使解答更加严谨。 （5）面积问题 例13. 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 分析： 将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”，有：28÷9=3……1，则必有一个小正方形里（上）至少有3+1=4（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积为1平方米。综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 例14. 在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点三角形的面积不超过0.125。 分析：用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形，我们把四个面积为0.25的正方形看成4个抽屉，9个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125。 总结：面积问题是间隔问题的“升级版”，难点在于分割图形。一般来说，这类问题通常可以通过判断总面积和部分面积之间的倍数关系来确定如何分割。 例如，在5-1中，正方形面积9平方米（边长3米），问句里的面积是1平方米，那么考虑把正方形分成9÷1=9等份。同理可以分析5-2，需要注意的是正方形面积和三角形面积公式差0.5倍，这样1÷0.125=8等份，这是三角形的份数，对应的需要转换为正方形，即4等份。 与间隔问题类似，说理时注意表述取顶点时的情况。 （7）表格填数问题 例15. 在8*8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1-4四个自然数的任意一个，填满后对每个2*2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 分析：先计算出在8*8的方格中，共有2*2“田”字形：7*7=49个，在1-4中任取4个数（可以重复）的和可以是4-16中之一，共有13种可能，根据抽屉原理：49÷13=3……10，至少有3+1=4个“田”字形内的数字和是相同的。 例16. 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2,3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以证明。 分析：大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和最小是10，最大是30。因为从10到30之间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看做21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的数字和共有22个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同是不可能的。 总结 ：表格问题类似于排列组合问题，只是“抽屉” 是由不同排列组合的数构成的，重点是确定和的最小值和最大值，以及这个数列的公差，这样就能知道一共有多少个抽屉。那么，表格按照各种规则求和（比如例题中的“田字求和”“行、列、对角线求和”）时对应的和的个数，如果大于抽屉数，则必然有两组相同。 |
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